Трюк Мозера

Трюк Мозера — рассуждение, позволяющее свести задачу о нахождении диффеоморфизма гладкого многообразия в себя к нахождению векторного поля на многообразии. Вторая задача обычно легче первой. Нужный диффеоморфизм задаётся потоком вдоль этого поля.

Это же рассуждение применимо в доказательстве теоремы Дарбу, лемме Морса и многих других результатах дифференциальной геометрии. Назван в честь Юргена Мозера, который использовал это рассуждение в доказательстве результата приведённого ниже.^[1]

Теорема Мозера

Формулировка. Пусть ${\displaystyle \omega _{0}}$ и ${\displaystyle \omega _{1}}$ — две ${\displaystyle n}$-формы на замкнутом связном гладком ориентированном многообразии ${\displaystyle M}$. Предположим, что они нигде не обнуляются и

${\displaystyle \int \limits _{M}\omega _{0}=\int \limits _{M}\omega _{1}.}$

Тогда существует диффеоморфизм ${\displaystyle \varphi \colon M\to M}$ такой, что ${\displaystyle \omega _{0}=\varphi ^{*}\omega _{1}}$.

Идея доказательства. Сначала доказывается, что разница ${\displaystyle \omega _{1}-\omega _{0}}$ замкнута, то есть существует такая ${\displaystyle (n-1)}$-форма ${\displaystyle \alpha }$, что ${\displaystyle d\alpha =\omega _{1}-\omega _{0}}$. Далее определим форму ${\displaystyle \omega _{t}=t\cdot \omega _{1}+(1-t)\cdot \omega _{0}}$. Воспользовавшись волшебной формулой Картана, находим такое поле ${\displaystyle V_{t}}$ на ${\displaystyle M}$, что ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{t}}\omega _{t}+\omega _{1}-\omega _{0}=0}$. После этого диффеоморфизм ${\displaystyle \varphi \colon M\to M}$ определается как поток векторного поля ${\displaystyle V_{t}}$ на интервале ${\displaystyle [0,1]}$.

Поскольку решение обыкновенного дифференциального уравнения гладко зависит от начальных данных поток является гладким отображением, как и обратное к нему отображение. Это облегчает проверку того, что полученное отображение является диффеоморфизмом.

Примечания

1. Moser, Jürgen (1965). "On the volume elements on a manifold". Transactions of the American Mathematical Society (англ.). 120 (2): 286–294. doi:10.1090/S0002-9947-1965-0182927-5. ISSN 0002-9947.