Точка округления

Точка округления (круговая точка, омбилическая точка или омбилика) ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны.

Название «омбилика» происходит от французского «ombilic», которое, в свою очередь, происходит от латинского «umbilicus» ― «пуп».

Точки округления и сеть линий кривизны поверхности вокруг них. В случае общего положения существуют три топологические различные типа особенности, часто называемые «лимон», «звезда» и «монстар»^[1]

Свойства

В точке округления:

• главные кривизны поверхности совпадают.
• Первая квадратичная форма и вторая квадратичная форма поверхности пропорциональны.
• любое касательное направление является главным направлением.
• Соприкасающийся параболоид является параболоидом вращения.
• Индикатриса Дюпена является окружностью.
• Сеть линий кривизны (то есть линий, касающихся в каждой точке одного из главных направлений поверхности), имеет особенность^[1].
• Любая точка округления является либо эллиптической точкой поверхности (если главные кривизны не равны нулю, и следовательно, гауссова кривизна поверхности в данной точке положительная), либо так называемой плоской точкой округления (если главные кривизны равны нулю, и следовательно, гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности в данной точке равны нулю). В первом случае в малой окрестности точки округления поверхность похожа на сферу, а во втором — на плоскость.

Примеры

Точки округления на трёхосном эллипсоиде

В евклидовом пространстве с метрикой ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$:

• Сфера целиком состоит из эллиптических точек округления.
• Трёхосный эллипсоид (с попарно различными осями) имеет ровно четыре точки округления, все они эллиптические и относятся к типу «лимон».
• Плоскость целиком состоит из плоских точек округления.
• Обезьянье седло имеет изолированную плоскую точку округления в начале координат.

Гипотеза Каратеодори

Каратеодори высказал гипотезу, что на любой достаточно гладкой замкнутой выпуклой поверхности M в трёхмерном евклидовом пространстве существуют как минимум две точки округления. Эта гипотеза была впоследствии доказана при дополнительном предположении, что поверхность M аналитическая^[2][3].

Обобщение

Пусть ${\displaystyle M}$ ― гладкое многообразие произвольной размерности ${\displaystyle n\geq 2}$ в евклидовом пространстве большей размерности. Тогда в каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ определены ${\displaystyle n}$ собственных значений ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ пары первой и второй квадратичных форм, заданных на касательном расслоении ${\displaystyle TM}$. Точка ${\displaystyle x\in M}$ называется омбиликой, если в ней набор ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ содержит хотя бы два совпадающих числа. Множество омбилик имеет коразмерность 2, то есть задается на ${\displaystyle M}$ двумя независимыми уравнениями.^[4] Так, омбилические точки на поверхности общего положения изолированы (${\displaystyle \dim =2-2=0}$), а на трёхмерном многообразии общего положения они образуют кривую (${\displaystyle \dim =3-2=1}$).

Литература

• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.
• Porteous I.R. Geometric Differentiation for the intelligence of curves and surfaces — Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
• Struik D. J. Lectures on Classical Differential Geometry, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Reprinted by Dover Publ., Inc., 1988.

Примечания

1. Ремизов А. О. Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений, ― СМФН, 19 (2006), 131—170.
2. Иванов В. В. Аналитическая гипотеза Каратеодори // Сиб. матем. журн.. — 2002. — Т. 42. — С. 314—405. — doi:10.1023/A:1014797105633.
3. Alexandrov V. A. Zbl 1056.53003 (англ.). Дата обращения: 13 октября 2014. Архивировано 19 октября 2014 года.
4. Арнольд В. И. Математические методы классической механики, ― Любое издание. (Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от параметров).