Теория размерности

Не следует путать с анализом размерности — методом решения задач во многих областях науки.

Тео́рия разме́рности — часть общей топологии, в которой изучаются размерности — числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность определяются тем или иным естественным образом на широком классе топологических пространств. При этом, если ${\displaystyle X}$ есть полиэдр (в частности, многообразие) размерность ${\displaystyle X}$ совпадает с числом измерений в смысле элементарной геометрии.

Типы размерностей

• Индуктивная размерность — большая и малая индуктивные размерности ${\displaystyle \left(\operatorname {Ind} \right.}$ и ${\displaystyle \left.\operatorname {ind} \right)}$
• Размерность Лебега ${\displaystyle \left(\operatorname {dim} \right)}$
• Гомологическая размерность
• Когомологическая размерность

История

Первое общее определение размерности (большой индукционной размерности ${\displaystyle \operatorname {Ind} }$) было дано Брауэром (1913), оно основывалось на идее Пуанкаре. В 1921 г. Менгер и Урысон независимо от Брауэра и друг от друга пришли к похожему определению (так называемая малая индуктивная размерность ${\displaystyle \operatorname {ind} }$). Совершенно иной подход к понятию размерности берёт начало от Лебега.

Размерность Хаусдорфа — связное определение для метрических пространств. Это определение дал Хаусдорф в 1919 году.

Определение по Урысону

Топологическая фигура является нульмерной, если в ней не существует никакой связной фигуры, содержащей более одной точки. Множество имеет размерность нуль, если любая его точка имеет сколь угодно малую относительную окрестность с пустой границей^[1].

Множество имеет размерность единица, если оно не является нульмерным, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна. Множество имеет размерность ${\displaystyle n}$, если оно не является ${\displaystyle n-1}$, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна^[2].

Точку ${\displaystyle a}$ множества ${\displaystyle X}$ отделяет от точки ${\displaystyle b}$ множество ${\displaystyle A}$ если в фигуре ${\displaystyle X}$ не существует связного множества, которое содержит точки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и не пересекается с ${\displaystyle A}$.

Топологическая фигура размерности ${\displaystyle n}$ определяется как фигура, не являющаяся фигурой размерности ${\displaystyle n-1}$ и в которой любую точку вместе с её окрестностью можно отделить от остальной части фигуры с помощью множества размерности, не превышающей ${\displaystyle n-1}$^[3][4].

Примечания

1. Виленкин, 1969, с. 149.
2. Виленкин, 1969, с. 151.
3. Болтянский, 1982, с. 35.
4. Виленкин, 1969, с. 152.

Литература

• Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. — ИЛ, 1948.
• Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
• Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. — М.: Наука, 1969. — 159 с.