Теория Хорндески

Теория Хорндески — скалярно-тензорная теория гравитации наиболее общего вида (в четырёх измерениях), уравнения которой имеют второй порядок. Хотя теория была предложена Хорндески ещё в 1974 году^[1], основной интерес к ней появился только в 2010-х в связи с исследованиями галилеонов^[2]. Помимо общей теории относительности, теория Хорндески включает множество скалярно-тензорных теорий, такие как квинтэссенция, дилатон, хамелеон, теория Бранса — Дикке, как свой частный случай^[3][4]. Поскольку, в силу неустойчивости Остроградского, большинство физических теорий имеют уравнения порядка не выше второго, теория Хорндески представляется естественной ареной для систематического изучения свойств скалярно-тензорных теорий гравитации.

Действие

Действие для теории Хорндески может быть записано в виде^[5]

${\displaystyle S[g_{\mu \nu },\phi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left[\sum _{i=2}^{5}{\frac {1}{8\pi G_{\text{N}}}}{\mathcal {L}}_{i}[g_{\mu \nu },\phi ]\,+{\mathcal {L}}_{\text{m}}[g_{\mu \nu },\psi _{M}]\right],}$

где

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=G_{2}(\phi ,\,X)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{3}=G_{3}(\phi ,\,X)\Box \phi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{4}=G_{4}(\phi ,\,X)R+G_{4,X}(\phi ,\,X)\left[\left(\Box \phi \right)^{2}-\phi _{;\mu \nu }\phi ^{;\mu \nu }\right]}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{5}=G_{5}(\phi ,\,X)G_{\mu \nu }\phi ^{;\mu \nu }-{\frac {1}{6}}G_{5,X}(\phi ,\,X)\left[\left(\Box \phi \right)^{3}+2{\phi _{;\mu }}^{\nu }{\phi _{;\nu }}^{\alpha }{\phi _{;\alpha }}^{\mu }-3\phi _{;\mu \nu }\phi ^{;\mu \nu }\Box \phi \right]}$

Здесь ${\displaystyle G_{N}}$ — гравитационная постоянная, ${\displaystyle G_{i}}$ — произвольные функции скалярного поля ${\displaystyle \phi }$ и ${\displaystyle X\equiv -1/2g^{\mu \nu }\phi _{;\mu }\phi _{;\nu }}$, ${\displaystyle R,G_{\mu \nu }}$ — скаляр Риччи и тензор Эйнштейна, точка с запятой обозначает ковариантную производную, а просто запятая — частную производную.

Примечания

1. Horndeski, Gregory Walter (1 сентября 1974). "Second-order scalar-tensor field equations in a four-dimensional space". International Journal of Theoretical Physics (англ.). 10 (6): 363–384. Bibcode:1974IJTP...10..363H. doi:10.1007/BF01807638. ISSN 0020-7748. S2CID 122346086.
2. Kobayashi, Tsutomu (2019). "Horndeski theory and beyond: a review". arXiv:1901.07183.
3. Clifton, Timothy; Ferreira, Pedro G.; Padilla, Antonio; Skordis, Constantinos (March 2012). "Modified Gravity and Cosmology". Physics Reports. 513 (1–3): 1–189. arXiv:1106.2476. Bibcode:2012PhR...513....1C. doi:10.1016/j.physrep.2012.01.001. S2CID 119258154.
4. Deffayet, C.; Esposito-Farese, G.; Vikman, A. (3 апреля 2009). "Covariant Galileon". Physical Review D. 79 (8): 084003. arXiv:0901.1314. Bibcode:2009PhRvD..79h4003D. doi:10.1103/PhysRevD.79.084003. ISSN 1550-7998. S2CID 118855364.
5. Kobayashi, Tsutomu; Yamaguchi, Masahide; Yokoyama, Jun'ichi (1 сентября 2011). "Generalized G-inflation: Inflation with the most general second-order field equations". Progress of Theoretical Physics. 126 (3): 511–529. arXiv:1105.5723. Bibcode:2011PThPh.126..511K. doi:10.1143/PTP.126.511. ISSN 0033-068X. S2CID 118587117.