Теория Ходжа

Теория Ходжа занимается изучением дифференциальных форм на гладких многообразиях. Более конкретно, эта теория изучает, каким образом обобщённый лапласиан, ассоциированный с римановой метрикой на многообразии M, влияет на его группы когомологий с вещественными коэффициентами.

Эта теория была разработана Вильямом Ходжем в 1930-х годах как обобщение когомологий де Рама. Теория Ходжа имеет основные приложения на трёх уровнях:

• Римановы многообразия
• Кэлеровы многообразия
• Комплексные проективные многообразия.

В ранних работах многообразие M предполагалось замкнутым (то есть компактным и без края). На всех трёх уровнях теория оказала большое влияние на последующие работы, будучи использована Кунихико Кодайрой, и, позднее, многими другими.

Приложения и примеры

Когомологии де Рама

Самим Ходжем данная теория формулировалась для комплексов де Рама. Если M — компактное ориентируемое многообразие, снабжённое гладкой метрикой g, и Ω^k(M) — пучок гладких дифференциальных форм степени k на M, то комплекс де Рама — это последовательность дифференциальных операторов

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {R} {\xrightarrow {d_{-1}}}\Omega ^{0}(M){\xrightarrow {d_{0}}}\Omega ^{1}(M){\xrightarrow {d_{1}}}\cdots {\xrightarrow {d_{n-1}}}\Omega ^{n}(M){\xrightarrow {d_{n}}}0}$

где d_k обозначает внешнюю производную на Ω^k(M). Тогда когомологии де Рама — это просто последовательность векторных пространств, определённых как

${\displaystyle H^{k}(M)={\frac {\ker d_{k}}{\mathrm {im} \,d_{k-1}}}.}$

Можно определить оператор, формально сопряжённый внешней производной (внешнему дифференциалу) d, называемый кодифференциалом и обозначаемый ${\displaystyle \delta :}$ достаточно потребовать, чтобы для всех α ∈ Ω^k(M) и β ∈ Ω^k+1(M) выполнялось соотношение

${\displaystyle \int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle _{k+1}\,dV=\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle _{k}\,dV}$

где ${\displaystyle \langle \ ,\ \rangle _{k}}$ — метрика, индуцированная на ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$. Теперь лапласиан можно определить как ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$. Это позволяет определить пространства гармонических форм:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.}$

Можно показать, что ${\displaystyle d{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=0}$, поэтому существует каноническое отображение ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\rightarrow H^{k}(M)}$. Первая часть теоремы Ходжа утверждает, что ${\displaystyle \varphi }$ — это изоморфизм векторных пространств.

Одно из главных следствий этого состоит в том, что группы когомологий де Рама на компактном многообразии конечномерны. Это следует из того, что операторы ${\displaystyle \Delta }$ эллиптические, а ядро эллиптического оператора на компактном многообразии всегда конечномерно.

Теория Ходжа для эллиптических комплексов

Структуры Ходжа

Основная статья: Структура Ходжа

Абстрактное определение (вещественных) структур Ходжа таково: для вещественного векторного пространства ${\displaystyle W}$ структура Ходжа на ${\displaystyle W}$ — это разложение его комплексификации ${\displaystyle W^{\mathbb {C} }=W\otimes \mathbb {C} }$ в ${\displaystyle \mathbb {N} }$-градуированную прямую сумму

${\displaystyle W^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\bigoplus _{p=0}^{k}W^{p,k-p}}$

причём комплексное сопряжение на ${\displaystyle W^{\mathbb {C} }}$ переставляет градуированные слагаемые ${\displaystyle W^{p,q}}$ и ${\displaystyle W^{q,p}}$:

${\displaystyle {\overline {W^{p,q}}}=W^{q,p}}$

Основное утверждение состоит в том, что группы сингулярных когомологий с вещественными коэффициентами ${\displaystyle H^{k}(V,\mathbb {R} )}$ неособого комплексного проективного многообразия ${\displaystyle V}$ имеют такую структуру Ходжа:

${\displaystyle H^{k}=\oplus _{p=0}^{k}H^{p,k-p}}$

где ${\displaystyle H^{p,q}}$ — группы когомологий Дольбо многообразия ${\displaystyle V}$. Отсюда следует связь между числами Бетти ${\displaystyle b_{k}=\dim H^{k}}$ и ${\displaystyle h_{p,q}=\dim H^{p,q}}$:

${\displaystyle b_{k}=\sum _{p=0}^{k}h_{p,k-p}}$

Изначально разложение Ходжа возникло из теории гармонических форм (собственных векторов лапласиана в пространстве дифференциальных форм), обобщающих локально постоянные гармонические функции. Доказывается, что каждый класс сингулярных когомологий представим единственной гармонической формой, и что такая форма обязательно имеет корректно определённую биградуировку ${\displaystyle (p,q)}$ (относительно действия оператора комплексной структуры). Отсюда следует разложение Ходжа. В дальнейшем разложение Ходжа было получено чисто алгебраически, с помощью теории спектральных последовательностей и групп когомологий пучков ${\displaystyle H^{q}(V,\Omega ^{p})}$, в работах Дольбо.

В случае некомпактных многообразий или многообразий с особенностями необходимо заменить структуру Ходжа на смешанную структуру Ходжа, отличающуюся тем, что разложение сингулярных когомологий в прямую сумму заменяется на пару фильтраций. Этот случай используется, например, в теории монодромии.

Литература

• Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии. — ИО НФМИ, 2000. — Т. 1. — 496 с. — ISBN 5-80323-126-6.
• К. Вуазен. Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 1. — 344 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-514-6.