Теорема Хартогса

Теорема Хартогса — утверждение о достаточных условиях аналитичности функции нескольких комплексных переменных. В случае нескольких комплексных переменных достаточным условием аналитичности является аналитичность по каждому переменному. Для функций действительных переменных это неверно: функция ${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{(x^{2}+y^{2})}},f(0,0)=0}$ бесконечно дифференцируема по ${\displaystyle x}$ (или ${\displaystyle y}$) когда ${\displaystyle y}$ (или ${\displaystyle x}$) является фиксированным, но ${\displaystyle f}$ даже не является непрерывной в начале координат.

Формулировка

Если комплекснозначная функция ${\displaystyle F}$ определена в открытом множестве ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$-мерного комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ и аналитическая по каждому переменному ${\displaystyle z_{j}}$, когда другие переменные фиксированы, то функция ${\displaystyle F}$ является аналитической в ${\displaystyle \Omega }$.

История

При дополнительном предположении непрерывности, это утверждение иногда называется леммой Осгуда, её доказал Вильям Осгуд^[1]

Примечания

1. Osgood, William F. (1899), "Note über analytische Functionen mehrerer Veränderlichen", Mathematische Annalen, 52, Springer Berlin / Heidelberg: 462—464, doi:10.1007/BF01476172, ISSN 0025-5831

Литература

• Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. — М.: Мир, 1968. — 280 с.