Теорема Феничеля

Теорема Феничеля является одним из классических результатов теории быстро-медленных систем. Она гарантирует существование локально инвариантных множеств для медленного многообразия системы.

Теорема формулируется для быстро-медленной системы вида ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon )\\{\dot {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon )\end{matrix}}\right.}$ (1)

Формулировка

Пусть для любого вектора ${\displaystyle y}$ связной области ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{m}}$ существует решение ${\displaystyle x=x_{*}(y)}$ уравнения ${\displaystyle f(x,y,0)=0}$ гладко зависящее от ${\displaystyle y}$, такое, что матрица ${\displaystyle f'_{x}(x_{*}(y),y,0)}$ является гиперболической. Обозначим локальные устойчивое и неустойчивое многообразия неустойчивого положения равновесия ${\displaystyle x_{*}(y)}$ системы ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,y,0)}$ за ${\displaystyle W_{0}^{s}(x_{*}(y))}$ и ${\displaystyle W_{0}^{u}(x_{*}(y))}$ соответственно. Тогда существует ${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$ такое, что для любого ${\displaystyle 0<\varepsilon <\varepsilon _{0}}$ в фазовом пространстве системы (1) существует локально инвариантное гиперболическое множество ${\displaystyle M_{\varepsilon }}$, лежащее в ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности множества ${\displaystyle M_{0}=\bigcup _{y\in {\mathcal {D}}}x_{*}(y)}$, локальные инвариантные устойчивое и неустойчивое многообразия которого ${\displaystyle O(\varepsilon )}$-близки к ${\displaystyle \bigcup _{y\in {\mathcal {D}}}W_{0}^{s,u}(x_{*}(y))}$.^[1]

Примечания

1. Neil Fenichel. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations // Journal of Differential Equations. — 1979-01. — Т. 31, вып. 1. — С. 53–98. — ISSN 0022-0396. — doi:10.1016/0022-0396(79)90152-9.