Была опубликована Ю. В. Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации[K 1]; в ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек)[2].
Одновременно с Сохоцким теорему о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки опубликовал итальянский математик Ф. Казорати в своей работе «Теория функций комплексных переменных»[K 2]. Вейерштрасс опубликовал эту теорему только в 1876 году в работе «К теории однозначных аналитических функций»[K 3][3].
Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций[K 4][1].
Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим[2]; в литературе на европейских языках теорема известна как теорема Казорати — Вейерштрасса.
Формулировка
Каково бы ни было , в любой окрестности существенно особой точки функции найдётся хотя бы одна точка , в которой значение функции отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на .
Доказательство
Предположим, что теорема неверна, т.е.
Рассмотрим вспомогательную функцию . В силу нашего предположения функция определена и ограничена в -окрестности точки . Следовательно - устранимая особая точка [4]. Это означает, что разложение функции в окрестности точки имеет вид:
.
Тогда, в силу определения функции , в данной окрестности точки имеет место следующее разложение функции :
,
где аналитическая функция ограничена в -окрестности точки . Но такое разложение означает, что точка является полюсом или правильной точкой функции , и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.
множество значений голоморфной функции в сколь угодно малой проколотой окрестности её существенной особой точки всюду плотно в .
Обобщения
Теорему Сохоцкого обобщает Большая теорема Пикара, которая утверждает, что аналитическая функция в окрестности существенно особой точки принимает все значения кроме, быть может, одного значения.
Комментарии
↑Теория интегральных вычетов с некоторыми приложениями. — СПб., 1868.
↑Сasorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. — Pavia, 1868.
↑Weierstrass K. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, В. — P. 77-124.
↑С. Вriot, I. Bouquet. Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiques. — 1859.