Тело постоянной ширины

Тело постоянной ширины ― выпуклое тело, ортогональная проекция которого на любую прямую является отрезком постоянной длины. Длина этого отрезка называется шириной данного тела. Простейшим примером тела постоянной ширины является шар. Но кроме шара, существует бесконечно много других (не обязательно гладких) тел постоянной ширины — например, тело, поверхность которого получена путём вращения треугольника Рёло вокруг одной из его осей симметрии.

Свойства

• Класс тел постоянной ширины совпадает с классом выпуклых тел постоянного охвата, для которых границы ортогональных проекций на всевозможные плоскости имеют совпадающие длины.

Открытые проблемы

• Неизвестно, какое тело постоянной ширины имеет наименьший объём (гипотеза Боннесена — Фенхеля).^[1][2][3]
• Почти ничего не известно про асимптотику наименьшего объёма тел ширины 1 при размерности стремящейся к бесконечности.^[4]

Вариации и обобщения

• Тело называется ротором многогранника K если оно может свободно вращаться в K касаясь всех его граней коразмерности 1. Например, любое тело постоянной ширины является ротором куба.
  • Любой многогранник у которого существует ротор является описанным.
  • Правильные многогранники имеют нетривиальные роторы, то есть отличные от шара.^[5][6]

Замечание

Вопреки распространённому утверждению, тетраэдр Рёло не является телом постоянной ширины.

См. также

• Кривая постоянной ширины

Литература

• Бляшке В. Круг и шар / Пер. с нем. В. А. Залгаллера и С. И. Залгаллер. — М.: Наука, 1967. — 232 с. — 140 000 экз.

Примечания

1. Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1934. — S. 127—139. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1).  (нем.)
2. Kawohl B. Convex Sets of Constant Width (англ.) // Oberwolfach Reports. — Zurich: European Mathematical Society Publishing House, 2009. — Vol. 6, no. 1. — P. 390—393. Архивировано 2 июня 2013 года.
3. Anciaux H., Guilfoyle B. On the Three-Dimensional Blaschke-Lebesgue Problem (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society. — Providence: American Mathematical Society, 2011. — Vol. 139, no. 5. — P. 1831—1839. — ISSN 0002-9939. — doi:10.1090/S0002-9939-2010-10588-9. arXiv:0906.3217
4. Gil Kalai, Volumes of Sets of Constant Width in High Dimensions.
5. Rolf Schneider, The use of spherical harmonics in convex geometry Архивная копия от 27 марта 2016 на Wayback Machine (Summer school on "Fourier analytic and probabilistic methods in geometric functional analysis and convexity", Kent State University, August 13-20, 2008)
6. Michael Goldberg, "Rotors in Polygons and Polyhedra," Mathematics of Computation, Vol. 14, No. 71 (July, 1960), pp. 229—239.