Сумма трёх кубов

Полулогарифмический график решений x³ + y³ + z³ = n для целых чисел x, y и z и n в интервале [0, 100]. Зелёные полосы обозначают доказанное отсутствие решения

Сумма трёх кубов — в математике открытая проблема о представимости целого числа в виде суммы трёх кубов целых (положительных или отрицательных) чисел.

Соответствующее диофантово уравнение записывается как ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n.}$ Необходимое условие для представимости числа ${\displaystyle n}$ в виде суммы трёх кубов: ${\displaystyle n}$ при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5.

В вариантах задачи число надо представить суммой кубов только неотрицательных или рациональных чисел. Любое целое число представимо в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой асимптотической плотностью.

История

Вопрос о представлении произвольного целого числа в виде суммы трёх кубов существует уже около 200 лет, первое известное параметрическое решение в рациональных числах дано С. Рили в 1825 году. Параметрические решения в целых числах находят для ${\displaystyle n=2}$ — в 1908 году А. С. Веребрюсов^[1] (учитель математики Феодосийской мужской гимназии, сын С. И. Веребрюсова), для ${\displaystyle n=1}$ — в 1936 году Малер^[2].

Решения

Необходимое условие для представимости числа ${\displaystyle n}$ в виде суммы трёх кубов: ${\displaystyle n}$ при делении на 9 не даёт остаток 4 или 5; так как куб любого целого числа при делении на 9 даёт остаток 0, 1 или 8, то сумма трёх кубов при делении на 9 не может дать остатка 4 или 5^[3]. Неизвестно, является ли это условие достаточным.

В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что любое ${\displaystyle n}$, не дающее остатка 4 или 5 при делении на 9, имеет бесконечно много представлений в виде сумм трёх кубов^[4].

Однако неизвестно, разрешимо ли алгоритмически представление чисел в виде суммы трёх кубов, то есть может ли алгоритм за конечное время проверить существование решения для любого заданного числа. Если гипотеза Хита-Брауна верна, то проблема разрешима, и алгоритм может правильно решить задачу. Исследование Хита-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, как далеко алгоритму придётся искать, чтобы найти явное представление, а не просто определить, существует ли оно^[4].

Случай ${\displaystyle n=33}$, представление которого в виде суммы кубов долгое время не было известно, использован Бьорном Пуненом в качестве вводного примера в обзоре неразрешимых проблем теории чисел, из которых десятая проблема Гильберта является наиболее известным примером^[5].

Небольшие числа

Для ${\displaystyle n=0}$ существуют только тривиальные решения

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}$

Нетривиальное представление 0 в виде суммы трёх кубов дало бы контрпример к доказанной Леонардом Эйлером последней теореме Ферма для степени 3^[6]: поскольку один из трёх кубов будет иметь противоположный к двум другим числам знак, следовательно его отрицание равно сумме этих двух.

Для ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle n=2}$ существует бесконечное число семейств решений, например (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1,}$

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.}$

Существуют другие представления и другие параметризованные семейства представлений для 1^[7]. Для 2 другими известными представлениями являются^[7][8]

${\displaystyle 1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,}$

${\displaystyle 37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,}$

${\displaystyle 373\ 783\ 0626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.}$

Эти равенства можно использовать для разложения любого куба или удвоенного куба на сумму трёх кубов^[1][9].

Однако 1 и 2 являются единственными числами с представлениями, которые могут быть параметризованы полиномами четвёртой степени^[10]. Даже в случае представлений ${\displaystyle n=3}$ Луи Дж. Морделл написал в 1953 году: «я ничего не знаю», кроме небольших решений

${\displaystyle 4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3,}$

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3,}$

и ещё того, что все три куба должны быть равны 1 по модулю 9^[11][12]. 17 сентября 2019 года Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, нашедшие представление для сложных случаев 33 и 42 (см. ниже), опубликовали ещё одно представление 3, для нахождения которого было затрачено 4 млн. часов в вычислительной сети Charity Engine^[13][14]:

${\displaystyle 569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^{3}=3,}$

Остальные числа

С 1955 года, вслед за Морделлом, многие исследователи осуществляют поиск решений с помощью компьютера^{[15][16][8][17][18][19][20][2][21][22]}.

В 1954 году Миллер и Вуллетт находят представления для 69 чисел от 1 до 100. В 1963 году Гардинер, Лазарус, Штайн исследуют интервал от 1 до 999, они находят представления для многих чисел, кроме 70 чисел, из которых 8 значений меньше 100. В 1992 году Хит-Браун и др. нашли решение для 39. В 1994 году Кояма, используя современные компьютеры, находит решения для ещё 16 чисел от 100 до 1000. В 1994 году Конн и Вазерштайн — 84 и 960. В 1995 году Бремнер — 75 и 600, Люкс — 110, 435, 478. В 1997 году Кояма и др. — 5 новых чисел от 100 до 1000. В 1999 году Элкис — 30 и ещё 10 новых чисел от 100 до 1000. В 2007 году Бек и др. — 52, 195, 588^[2]. В 2016 году Хёйсман — 74, 606, 830, 966^[22].

Elsenhans и Jahnel в 2009 году^[21] использовали метод Элкиса^[20], применяющий редуцирование базиса решётки для поиска всех решений диофантова уравнения ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ для положительных ${\displaystyle n}$ не больше 1000 и для ${\displaystyle \max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{14}}$^[21], затем Хёйсман в 2016 году^[22] расширил поиск до ${\displaystyle \max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{15}}$.

Весной 2019 года Эндрю Букер (Бристольский университет) разработал другую стратегию поиска со временем расчётов пропорциональным ${\displaystyle \min {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}}$, а не их максимуму, и нашёл представление 33 и 795^[23][24][25]:

${\displaystyle 33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3},}$

${\displaystyle 795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^{3}.}$

В сентябре 2019 года Букер и Эндрю Сазерленд закрыли интервал до 100, найдя представление 42, для чего было затрачено 1,3 миллиона часов расчёта в глобальной вычислительной сети Charity Engine^[26]:

${\displaystyle 42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^{3}.}$

Позже, в этом же месяце, они нашли разложение числа 906 ^[27]:

${\displaystyle 906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^{3}.}$

А затем 165^[28]:

${\displaystyle 165=(-385\ 495\ 523\ 231\ 271\ 884)^{3}+383\ 344\ 975\ 542\ 639\ 445^{3}+98\ 422\ 560\ 467\ 622\ 814^{3}.}$

На 2019 год были найдены представления всех чисел до 100, не равных 4 или 5 по модулю 9. Остаются неизвестными представления для 7 чисел от 100 до 1000: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975^[26].

Наименьший нерешённый случай — ${\displaystyle n=114}$^[26].

Варианты

Существует вариант задачи, в котором число необходимо представить в виде суммы трёх кубов неотрицательных целых чисел, эта задача связана с проблемой Варинга. В XIX веке Карл Густав Якоб Якоби и его коллеги составили таблицы решений этой задачи^[29]. Предполагается, но не доказано, что представимые числа имеют положительную асимптотическую плотность^[30][31], хотя Тревор Вули показал, что таким образом возможно представить ${\displaystyle \Omega (n^{0{,}917})}$ чисел в интервале от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$^[32][33][34]. Плотность не более ${\displaystyle \Gamma (4/3)^{3}/6\approx 0{,}119}$^[3].

Ещё один вариант — с рациональными числами. Известно, что любое целое число может быть представлено в виде суммы трёх кубов рациональных чисел^[35][36].

См. также

• Задача о четырёх кубах
• Проблема Варинга

Примечания

1. А. С. Веребрюсовъ (1908), "Объ уравненiи x³ + y³ + z³ = 2u³", Математический сборник, 26 (4): 622—624, JFM 39.0259.02 {{citation}}: templatestyles stripmarker в |title= на позиции 15 (справка)
2. Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne; Yarbrough Jensen, Kim (2007), "New integer representations as the sum of three cubes", Mathematics of Computation, 76 (259): 1683—1690, doi:10.1090/S0025-5718-07-01947-3, MR 2299795
3. Davenport, H. (1939), "On Waring's problem for cubes", Acta Mathematica, 71: 123—143, doi:10.1007/BF02547752, MR 0000026
4. Heath-Brown, D. R. (1992), "The density of zeros of forms for which weak approximation fails", Mathematics of Computation, 59 (200): 613—623, doi:10.2307/2153078, JSTOR 2153078, MR 1146835
5. Poonen, Bjorn (2008), "Undecidability in number theory" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 55 (3): 344—350, MR 2382821, Архивировано из оригинала (PDF) 6 марта 2021, Дата обращения: 8 сентября 2019
6. Machis, Yu. Yu. (2007), "On Euler's hypothetical proof", Mathematical Notes, 82 (3): 352—356, doi:10.1134/S0001434607090088, MR 2364600
7. Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen (2018), A new method in the problem of three cubes, arXiv:1802.06776, doi:10.13189/ujcmj.2017.050301 (inactive 2019-08-16)
8. Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M.; te Riele, H. J. J. (1993), "On solving the Diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k}$ on a vector computer", Mathematics of Computation, 61 (203): 235—244, Bibcode:1993MaCom..61..235H, doi:10.2307/2152950, JSTOR 2152950, MR 1202610, Архивировано из оригинала 26 января 2021, Дата обращения: 8 сентября 2019
9. Mahler, Kurt (1936), "Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood", Journal of the London Mathematical Society, 11 (2): 136—138, doi:10.1112/jlms/s1-11.2.136, MR 1574761
10. Mordell, L. J. (1942), "On sums of three cubes", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 17 (3): 139—144, doi:10.1112/jlms/s1-17.3.139, MR 0007761
11. Mordell, L. J. (1953), "On the integer solutions of the equation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=n}$", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 28: 500—510, doi:10.1112/jlms/s1-28.4.500, MR 0056619
12. The equality mod 9 of numbers whose cubes sum to 3 was credited to J. W. S. Cassels by Mordell (1953), but its proof was not published until Cassels, J. W. S. (1985), "A note on the Diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=3}$", Mathematics of Computation, 44 (169): 265—266, doi:10.2307/2007811, JSTOR 2007811, MR 0771049.
13. Lu, Donna Mathematicians find a completely new way to write the number 3  (неопр.). New Scientist (18 сентября 2019). Дата обращения: 11 октября 2019. Архивировано 30 сентября 2019 года.
14. markmcan. Insanely huge sum-of-three cubes for 3 discovered – after 66 year search. [твит]  (неопр.). Твиттер (17 сентября 2019).
15. Miller, J. C. P.; Woollett, M. F. C. (1955), "Solutions of the Diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k}$", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 30: 101—110, doi:10.1112/jlms/s1-30.1.101, MR 0067916
16. Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; Stein, P. R. (1964), "Solutions of the diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}-d}$", Mathematics of Computation, 18 (87): 408—413, doi:10.2307/2003763, JSTOR 2003763, MR 0175843
17. Conn, W.; Vaserstein, L. N. (1994), "On sums of three integral cubes", The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992), Contemporary Mathematics, vol. 166, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 285—294, doi:10.1090/conm/166/01628, MR 1284068
18. Bremner, Andrew (1995), "On sums of three cubes", Number theory (Halifax, NS, 1994), CMS Conference Proceedings, vol. 15, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 87—91, MR 1353923
19. Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio; Sekigawa, Hiroshi (1997), "On searching for solutions of the Diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$", Mathematics of Computation, 66 (218): 841—851, doi:10.1090/S0025-5718-97-00830-2, MR 1401942
20. Elkies, Noam D. (2000), "Rational points near curves and small nonzero ${\displaystyle |x^{3}-y^{2}|}$ via lattice reduction", Algorithmic number theory (Leiden, 2000), Lecture Notes in Computer Science, vol. 1838, Springer, Berlin, pp. 33—63, arXiv:math/0005139, doi:10.1007/10722028_2, MR 1850598
21. Elsenhans, Andreas-Stephan; Jahnel, Jörg (2009), "New sums of three cubes", Mathematics of Computation, 78 (266): 1227—1230, doi:10.1090/S0025-5718-08-02168-6, MR 2476583
22. Huisman, Sander G. (2016), Newer sums of three cubes, arXiv:1604.07746
23. Kalai, Gil (March 9, 2019), Combinatorics and more, Архивировано из оригинала 25 ноября 2020, Дата обращения: 8 сентября 2019
24. Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 (PDF), University of Bristol, arXiv:1903.04284, Архивировано из оригинала (PDF) 14 февраля 2021, Дата обращения: 8 сентября 2019
25. Booker, Andrew R. (2019), "Cracking the problem with 33", Research in Number Theory, vol. 5:26, Springer, doi:10.1007/s40993-019-0162-1
26. Houston, Robin 42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?'  (неопр.). The Aperiodical (6 сентября 2019). Дата обращения: 4 января 2021. Архивировано 15 марта 2022 года.
27. Andrew V. Sutherland personal webpage  (неопр.). Дата обращения: 20 сентября 2019. Архивировано 20 октября 2020 года.
28. Andrew V. Sutherland personal webpage  (неопр.). Дата обращения: 30 сентября 2019. Архивировано 20 октября 2020 года.
29. Dickson, Leonard Eugene (1920), History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis, Carnegie Institution of Washington, p. 717
30. Balog, Antal; Brüdern, Jörg (1995), "Sums of three cubes in three linked three-progressions", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1995 (466): 45—85, doi:10.1515/crll.1995.466.45, MR 1353314
31. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard (2006), "On the density of sums of three cubes", in Hess, Florian; Pauli, Sebastian; Pohst, Michael (eds.), Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23-28, 2006, Proceedings, Lecture Notes in Computer Science, vol. 4076, Berlin: Springer, pp. 141—155, doi:10.1007/11792086_11, MR 2282921
32. Wooley, Trevor D. (1995), "Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behaviour", Inventiones Mathematicae, 122 (3): 421—451, doi:10.1007/BF01231451, hdl:2027.42/46588, MR 1359599
33. Wooley, Trevor D. (2000), "Sums of three cubes", Mathematika, 47 (1—2): 53–61 (2002), doi:10.1112/S0025579300015710, MR 1924487
34. Wooley, Trevor D. (2015), "Sums of three cubes, II", Acta Arithmetica, 170 (1): 73—100, doi:10.4064/aa170-1-6, MR 3373831
35. Richmond, H. W. (1923), "On analogues of Waring's problem for rational numbers", Proceedings of the London Mathematical Society, Second Series, 21: 401—409, doi:10.1112/plms/s2-21.1.401, MR 1575369
36. Davenport, H.; Landau, E. (1969), "On the representation of positive integers as sums of three cubes of positive rational numbers", Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau), New York: Plenum, pp. 49—53, MR 0262198

Ссылки

• Solutions of n = x³ + y³ + z³ for 0 ≤ n ≤ 99, Hisanori Mishima
• threecubes, Daniel J. Bernstein
• Sums of three cubes, Mathpages
• The Uncracked Problem with 33, Timothy Browning on Numberphile
• 42 is the new 33, Andrew Booker on Numberphile