Сетка Вульфа

Экваториальная сетка Вульфа с шагом координат 10°

Сетка Вульфа в кристаллографии — стереографическая экваториальная проекция градусной сетки сферы из расположенного на её экваторе центра проекции, осуществляемая на плоскость меридиана, удалённого на 90° от выбранного центра. Данный меридиан называется основным меридианом сетки. Меридианы и параллели сетки Вульфа играют вспомогательную роль как проекции дуг больших и малых кругов сферы. Точки схождения меридианов называются полюсами сетки; отрезок прямой, соединяющей полюса сетки, называется осью сетки; отрезок прямой, равноудалённый от полюсов и перпендикулярный оси, называется экватором сетки.

Все построения и преобразования с использованием сетки Вульфа проводятся на кальке, на которую переносят центр сетки, её основной меридиан, ось и экватор, а также наносят точки, сферические координаты которых требуется преобразовать. Повороты кальки делаются с сохранением центровки относительно сетки.

Сетку Вульфа обычно строят с шагом координат в 2°.

Метод изобретён кристаллографом Георгием Вульфом.

Примеры применения

Сетка Вульфа позволяет графически, без дополнительных расчётов решать многие задачи геометрической кристаллографии, связанные с угловыми характеристиками кристаллов, а так же навигационные и астрометрические задачи.

С помощью сетки Вульфа строится стереографическая экваториальная проекция точки, заданной своими сферическими координатами ${\displaystyle \phi }$₁ и ${\displaystyle \rho }$₁. Поворотом кальки вокруг центра сетки на требуемый угол с учётом его знака получают результирующие координаты точки ${\displaystyle \phi }$₂ и ${\displaystyle \rho }$₂ на сетке. В зависимости от класса решаемых задач координаты точек на сетке могут быть заданы различным образом.

В кристаллографии принят следующий порядок указания координат: углы ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \phi <360^{\circ }}$ отсчитываются по окружности сетки Вульфа, положительное направление по часовой стрелке, начиная от правого конца её экватора; углы ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \rho \leq 180^{\circ }}$ — вдоль оси и экватора, от центра сетки, при этом диапазон ${\displaystyle 90^{\circ }<\rho \leq 180^{\circ }}$ соответствует проекциям точек, лежащих под плоскостью основного меридиана. Центр сетки соответствует координатам ${\displaystyle \rho =0^{\circ }}$ и ${\displaystyle \rho =180^{\circ }}$; правый конец экватора - ${\displaystyle \rho =90^{\circ },\phi =0^{\circ }}$; левый конец экватора - ${\displaystyle \rho =90^{\circ },\phi =180^{\circ }}$; "верхний" полюс - ${\displaystyle \rho =90^{\circ },\phi =270^{\circ }}$; "нижний" полюс - ${\displaystyle \rho =90^{\circ },\phi =90^{\circ }}$.

В геодезическом, навигационном или астрографическом применении сетки принят такой порядок указания координат: углы ${\displaystyle -90^{\circ }\leq \phi \leq +90^{\circ }}$, соответствующие широте, склонению или высоте над горизонтом, отсчитываются по окружности сетки Вульфа, положительное направление по часовой стрелке, начиная от левого конца её экватора; углы ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \lambda <360^{\circ }}$, соответствующие долготе, прямому восхождению или часовому углу — вдоль экватора сетки от правого его конца. Положения точек с координатами ${\displaystyle \lambda >180^{\circ }}$ находятся по правилу ${\displaystyle 360^{\circ }-\lambda }$. Центр сетки имеет координаты ${\displaystyle \lambda =90^{\circ }}$ и ${\displaystyle \lambda =270^{\circ }}$.

В контексте решений навигационных задач сетка может представлять требуемую систему сферических координат, например, экваториальную, тогда северный полюс отображается на верхний полюс сетки, южный полюс - на нижний полюс сетки, небесный экватор - на экватор сетки; меридиан наблюдателя совпадает с основным меридианом сетки. Зенит и надир находятся в точках, соответствующих географической широте местоположения наблюдателя: в точках ${\displaystyle (\phi ,\lambda =180^{\circ })}$ и ${\displaystyle (-\phi ,\lambda =0^{\circ })}$ соответственно. В этом случае вдоль основного меридиана отсчитываются склонения светил, а вдоль экватора сетки - часовые углы.

При использовании горизонтальной системы координат - зенит и надир находятся в соответствующих полюсах сетки, экватор сетки соответствует истинному горизонту наблюдателя. Меридиан наблюдателя совпадает с основным меридианом сетки. Полюсы мира находятся на основном меридиане в точках ${\displaystyle (90^{\circ }-\phi )}$ и ${\displaystyle (-90^{\circ }+\phi )}$ соответственно. Точка севера (N) отображается на правый конец экватора, точка юга (S) - на левый, точки востока и запада - в центр сетки. В этом случае вдоль основного меридиана сетки (от точки юга) отсчитываются высоты светил над горизонтом; вдоль экватора сетки (от точки севера) - истинные пеленги светил.

Поворотом кальки вокруг центра сетки на соответствующий угол производится преобразование координат светила из горизонтальной в экваториальную систему координат и обратно.

Способ построения сетки Вульфа

Порядок построения сетки Вульфа

Воспользуемся тем свойством стереографической экваториальной проекции, что меридианы и параллели сетки Вульфа являются дугами окружностей.

Начертите окружность радиуса ${\displaystyle R}$ с центром в точке ${\displaystyle C}$, постройте два взаимно-перпендикулярных диаметра ${\displaystyle P_{1}-P_{2}}$ и ${\displaystyle Q_{1}-Q_{2}}$. Положительные значения угла ${\displaystyle \phi }$ отсчитываются по часовой стрелке от точки ${\displaystyle Q_{2}}$. Выбрав желаемый шаг координатной сетки - найдите на окружности ${\displaystyle P_{1}Q_{2}P_{2}Q_{1}}$ вспомогательную точку ${\displaystyle A_{\phi }}$, отмеряющую на окружности дугу ${\displaystyle Q_{2}-A_{\phi }}$, кратную выбранному шагу по углу ${\displaystyle \phi }$. Найдите на луче ${\displaystyle C-P_{2}}$ вспомогательную точку ${\displaystyle O_{\phi }}$, лежащую на расстоянии ${\displaystyle r_{\phi }={\frac {R}{\tan \phi }}}$ от точки ${\displaystyle A_{\phi }}$. Взяв точку ${\displaystyle O_{\phi }}$ в качестве центра, прочертите от точки ${\displaystyle A_{\phi }}$ дугу радиусом ${\displaystyle r_{\phi }}$ внутри окружности; параллель широты ${\displaystyle \phi }$ построена. Параллели второй половины сетки строятся таким же образом, но углы ${\displaystyle \phi }$ отсчитываются от точки ${\displaystyle Q_{1}}$ и вспомогательные точки располагаются на луче ${\displaystyle C-P_{1}}$.

Для построения меридианов сетки с выбранным шагом, вычисляйте положение вспомогательной точки ${\displaystyle O_{\lambda }}$, находящейся на луче ${\displaystyle C-Q_{2}}$ на расстоянии ${\displaystyle r_{\lambda }={\frac {R}{\sin \lambda }}}$ от какого-либо полюса. Взяв точку ${\displaystyle O_{\lambda }}$ в качестве центра, прочертите между полюсами ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ дугу радиусом ${\displaystyle r_{\lambda }}$; меридиан долготы ${\displaystyle \lambda }$ построен. Меридианы второй половины сетки строятся таким же образом, но вспомогательные точки располагаются на луче ${\displaystyle C-Q_{1}}$.

Ссылки

• Вульфа сетка — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Вульф Г.В. Способ графического решения задач по космографии и математической географии. — Нижний Новгород, 1909.