В 2013 году старший брат Романа Дмитрий Салей принял решение выступать за Азербайджан. По его словам, в Азербайджане, «отношения к спортсменам и условия для тренировок значительно лучше» и «спортсменов не обманывают». Дмитрий также предложил поехать с ним в Азербайджан своему брату Роману, который согласился[4].
В июле 2015 года на чемпионате мира по плаванию среди паралимпийцев в шотландском Глазго Роман Салей завоевал серебряную медаль в заплыве на дистанцию 50 м вольным стилем[5].
На Паралимпийских играх 2016 года в Рио-де-Жанейро Роман Салей взял серебро на дистанции 100 метров на спине[6]. В сентябре 2016 года Роман Салей распоряжением президента Азербайджана Ильхама Алиева за высокие достижения на XV летних Паралимпийских играх в Рио-де-Жанейро, а также за заслуги в развитии азербайджанского спорта был награждён орденом «За службу Отечеству» III степени[2].
В сентябре 2019 года на чемпионате мира в Лондоне Роман Салей занял второе место на дистанции 100 м на спине, завоевав лицензию на Паралимпийские игры 2020 в Токио. На дистанции же 50 м вольным стилем он с результатом в 24,32 с занял третье место. Брат Романа Дмитрий, представляющий Белоруссию, также показал такой же результат и также был награждён бронзовой медалью[7]. Роман также стал третьим в плавании вольным стилем на дистанции 100 м, показав результат 52,99 с[8].
На Паралимпийских играх 2020 года в Токио (которые из-за пандемии СOVID-19 проходили в 2021 году) Роман Салей стал трёхкратным паралимпийским чемпионом на дистанции 100 метров на спине, 100 м вольным стилем и 100 м баттерфляем[9][10][11].
Распоряжением президента Азербайджанской Республики Ильхама Алиева Роман Салей за высокие достижения на XVI летних Паралимпийских играх в Токио и заслуги в развитии азербайджанского спорта был награждён орденом «Слава»[12].
В июне 2022 года на чемпионате мира[англ.] в португальскойМадейре Салей занял второе место на дистанции 100 метров на спине[13], 100 метров баттерфляем[14], в также стал чемпионом на дистанции 50 метров вольным стилем[15] и 100 метров вольным стилем[16].
В августе 2022 года Салей был удостоен звания Заслуженного мастера спорта Азербайджана[17].
В мае 2023 года завоевал серебряную медаль на соревнованиях мировой серии по плаванию (Берлин)[18].
В августе 2023 года выиграл золотую, серебряную и две бронзовые медали на чемпионате мира[англ.] в Манчестере в плавании на 100 метров вольным стилем, на 100 метров на спине, на 100 метров баттерфляем и на 50 метров вольным стилем соответственно[19][20][21][22]. На этом чемпионате Салею удалось завоевать лицензию на Паралимпийские игры 2024 года в плавании на 100 метров на спине[19].
В апреле 2024 года Салей стал чемпионом Европы по паралимпийскому плаванию в Португалии в плавании на спине на дистанцию 100 м[23], а также выиграл серебро в плавании в стиле баттерфляй на дистанцию 100 м[24] и бронзу в плавании вольным стилем на дистанции 100 м.[25]
На летних Паралимпийских играх 2024 в Париже Роман Салей выиграл одну серебряную и две бронзовые медали в плавании на 100 метров на спине, вольным стилем и баттерфляем соответственно (категория S12)[26][27][28]. Он также участвовал в плавании на 50 метров вольным стилем категории S13, но не сумел пробиться в финал[29].
Распоряжением президента Азербайджанской Республики Ильхама Алиева от 10 сентября 2024 года Роман Салей за высокие достижения на XVII летних Паралимпийских играх в городе Париж Франции и заслуги в развитии азербайджанского спорта был награждён орденом «За службу Отечеству» II степени[30]. Указом президента, датированным тем же днем, ему также была присуждена денежная премия в размере 200 000 манатов за второе и третьи места на Паралимпийских играх[31].