Размах (статистика)

Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями результатов наблюдений. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — взаимно независимые случайные величины с функцией распределения ${\displaystyle F(x)}$ и плотностью вероятности ${\displaystyle f(x)}$. В этом случае размах ${\displaystyle W_{n}}$ определяется как разность между наибольшим и наименьшим значениями среди ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$; размах ${\displaystyle Wn}$ представляет собой случайную величину, которой соответствует функция распределения:

${\displaystyle P\{W_{n}\leq w\}=n\int _{-\infty }^{\infty }[F(w+x)-F(x)]^{n-1}f(x)\,\mathrm {d} x}$

(при w >= 0; если w < 0, то P {W <= w} = 0).

В математической статистике размах, надлежащим образом нормированный, применяется как оценка неизвестного квадратичного отклонения. Например, если ${\displaystyle X_{k}}$ имеют нормальное распределение с параметрами (а, s), то при n = 5 и 10, соответственно, величины 0,4299W₅ и 0,3249W₁₀ будут несмещенными оценками s. Такие оценки часто используют при статистическом контроле качества, поскольку определение Р. нескольких результатов измерений не требует сложных вычислений.

Литература

• Хальд А. , Математическая статистика с техническими приложениями, пер. с англ., М., 1956.

Примечания