Разложение Шмидта

Разложение Шмидта — определённого типа выражение для вектора в тензорном произведении двух гильбертовых пространств. По сути является переформулировкой сингулярного разложения для матриц.

Имеет многочисленные приложения в квантовой теории информации, например в запутанности. Hазванo в честь Эрхардa Шмидтa.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle H_{1}}$ и ${\displaystyle H_{2}}$ — гильбертовы пространства от размерностей ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ соответственно. Предположим ${\displaystyle m\geq n}$. Тогда для любого вектора ${\displaystyle w}$ в тензорном произведении ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ существуют ортонормированные наборы векторов ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{n}\}\subset H_{1}}$ и ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subset H_{2}}$ такие, что

${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i},}$

где ${\displaystyle \alpha _{i}}$ вещественные неотрицательные числа. Более того, мультимножество ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}}$, однозначно определяется ${\displaystyle w}$.

Замечания

• Наборы векторов ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{n}\}\subset H_{1}}$ и ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subset H_{2}}$ называются базисами Шмидта для ${\displaystyle w}$.
• Числа ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}}$ называются коэффициентами Шмидта для ${\displaystyle w}$.