Родился в семье таможенного инспектора. В молодости выступал, как актёр в Королевском датском театре, но из-за своей внешности отбор не прошёл. Занялся литературной деятельностью.
В 1782 году отправился в Германию, жил в Париже. По возвращении в Копенгаген в 1785 году вместе с Прамом основал журнал «Minerva», оказавший большое влияние на датскую литературу, в 1791 году стал издавать «Den danske Tilskuer», где в шутливой форме трактовалось о политике, литературе и вопросах дня.
В 1790 году стал профессором эстетики в университете Копенгагена. В 1799 году ушёл из университета и стал учителем истории в частном институте. В 1805 году возглавил начальную школу театрального училища, в 1809 году стал членом театрального управления. В 1816 году он возобновил свою профессуру по эстетике в университете.
Дебютировал, как драматург, написав серию относительно успешных пьес, в первую очередь, пользовавшуюся успехом пьесу «Den unge Darcy» (1780).
Особенно известен своими задушевными застольными песнями. Получил особенную известность изданным им (совместно с Нирупом и В. Г. Абрагамсоном собранием старинных народных датских песен «Udwaigte danske Viser fra Middelalderen» (5 т., Коп., 1812—1814).
Большим успехом пользовались его сентиментальные рассказы: «Samlede Fortällinger» (1804—1814) и «Nordiske Fortällinger» (1819—1821).
Рабек был одним из самых выдающихся литературных критиков Дании, пишущих по вопросам культуры.
В течение целого поколения К. Рабек играл в датской литературе роль ведущего критика, но в последние годы своей литературной деятельности не устоял на уровне новых течений.
Вместе с библиотекарем и учёным Расмусом Нирупом основал датское издание по исследованию истории литературы. В 1800—1828 годах издал в 5 томах обзор датской поэзии («Bidrag til en oversigt over den danske Digtekonst»).
Оставил автобиографию: «Erindringer af mit Liv» (1824—1829).
