Проблемы Смейла

Проблемы Смейла — список из восемнадцати нерешённых математических проблем, предложенный Стивеном Смейлом в 2000 году^[1]. Смейл составил свой список по просьбе Владимира Арнольда, занимавшего в 1995–1998 годах пост вице-президента международного математического союза. Идею этого списка Владимир Арнольд взял из списка проблем Гильберта.

Список проблем

№	Формулировка	Комментарий
1	Гипотеза Римана	Не доказана.
2	Гипотеза Пуанкаре	Доказана Григорием Перельманом.
3	Равенство классов P и NP
4	Оценка количества целочисленных корней полиномов от одной переменной
5	Оценка вычислительной сложности решения полиномиальных диофантовых уравнений
6	Конечность количества точек относительного равновесия в небесной механике	Доказана для частного случая пяти тел Аленом Альбуем (A. Albouy) и Вадимом Калошиным в 2012 году[2]
7	Распределение точек на сфере
8	Расширение математической теории общего равновесия на экономическую теорию
9	Полиномиальный алгоритм для определения допустимости систем линейных неравенств
10	Обобщение леммы Пью о замыкании^[англ.] для случая большей гладкости	Доказана для определённого класса диффеоморфизмов[3]
11	Является ли одномерная динамика гиперболичной в общем случае?	Решена для вещественного случая[4]
12	Централизаторы диффеоморфизмов	Решена для ${\displaystyle C^{1}}$-топологии Кристианом Бонатти (Christian Bonatti), Сильвеном Кровизье (Sylvain Crovisier) и Эми Уилкинсон (Amie Wilkinson) в 2008 году[5]
13	Шестнадцатая проблема Гильберта
14	Аттрактор Лоренца	Решена Уориком Такером при помощи дискретной алгебры[6].
15	Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
16	Проблема якобиана
17	Решение систем алгебраических уравнений	Частично решена К. Белтраном и Л. Мигелем Пардо (см. класс BPP)[7], позже решена окончательно[8]
18	Выяснение пределов искусственного и человеческого интеллектов

Примечания

1. Steve Smale. Mathematical problems for the next century (неопр.) // Mathematics: frontiers and perspectives. — Providence, RI: American Mathematics Society, 2000. — С. 271—294. Архивировано 1 сентября 2009 года.
2. A. Albouy, V. Kaloshin. Finiteness of central configurations of five bodies in the plane // Annals of Mathematics. — 2012. — Т. 176. — С. 535—588. Архивировано 27 февраля 2013 года.
3. Masayuki Asaoka, Kei Irie. A C^∞ closing lemma for Hamiltonian diffeomorphisms of closed surfaces // Geometric and Functional Analysis. — 2016. — Vol. 26. — P. 1245–1254. — arXiv:1512.06336. — doi:10.1007/s00039-016-0386-3.
4. O. Kozlovski, W. Shen and S. van Strien. Density of Hyperbolicity in Dimension One : [арх. 14 июня 2018] // Annals of Mathematics. — 2007. — Vol. 166. — P. 145-182. — doi:10.4007/annals.2007.166.145.
5. C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson. The ${\displaystyle C^{1}}$-generic diffeomorphism has trivial centralizer // Publications Mathématiques de l’IHÉS. — 2009. — Т. 109. — С. 185—244.
6. Warwick Tucker. A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem (неопр.) // Foundations of Computational Mathematics^[англ.]. — 2002. — Т. 2, № 1. — С. 53—117. — doi:10.1007/s002080010018. Архивировано 5 ноября 2021 года.
7. Carlos Beltran, Luis Miguel Pardo. On Smale`s 17th Problem: A Probabilistic Positive answer (англ.) // Foundations of Computational Mathematics^[англ.] : journal. — 2008. — Vol. 8, no. 1. — P. 1—43. — doi:10.1007/s10208-005-0211-0.
8. Pierre Lairez. A Deterministic Algorithm to Compute Approximate Roots of Polynomial Systems in Polynomial Average Time // Foundations of Computational Mathematics. — 2017. — Vol. 17. — P. 1265–1292. — arXiv:1507.05485. — doi:10.1007/s10208-016-9319-7.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Smale's Problems (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.