Принцип Гарнака

Принцип Гарнака (вторая теорема Гарнака) — теорема о свойствах монотонной последовательности гармонических в ограниченной области функций, распространяющая сходимость в некоторой точке на сходимость во всей области. Установлена немецким математиком Акселем Гарнаком в 1886 году.

Формально, пусть ${\displaystyle v_{n}(z)}$ — положительные гармонические в некоторой области ${\displaystyle D}$ функции; если ряд:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}(z)}$

сходится хотя бы в одной точке области ${\displaystyle D}$, то он равномерно сходится внутри ${\displaystyle D}$.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle K}$ — круг с центром в ${\displaystyle z_{0}}$ и радиусом ${\displaystyle R}$, лежащий в ${\displaystyle D}$. Умножая неравенство ${\displaystyle {\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+r}{R-r}}}$, где ${\displaystyle 0\leq r<R}$, на ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}v_{n}(z_{0}+Re^{i\alpha })}$, и интегрируя по ${\displaystyle \alpha }$ в пределах от ${\displaystyle -\pi }$ до ${\displaystyle \pi }$, получим ${\displaystyle v_{n}(z_{0}+Re^{i\alpha })\leq {\frac {R+r}{R-r}}v_{n}(z_{0})}$, откуда следует, что если в точке ${\displaystyle z_{0}}$ ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }v_{n}(z)}$ сходится, то он сходится в каждой точке внутри ${\displaystyle K}$. Пусть ${\displaystyle K_{1},K_{2},...,K_{m}}$ — цепочка кругов, лежащих в ${\displaystyle D}$ и таких, что точка сходимости ${\displaystyle z_{0}}$ есть центр круга ${\displaystyle K_{1}}$, центр каждого ${\displaystyle K_{j}(1<j\leq m)}$ лежит внутри ${\displaystyle K_{j-1}}$, ${\displaystyle Z}$ лежит внутри ${\displaystyle K_{m}}$, где ${\displaystyle Z}$ — произвольно выбранная точка в ${\displaystyle D}$. В точке ${\displaystyle Z}$ в силу изложенного ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }v_{n}}$ оказывается сходящимся, но ${\displaystyle Z}$ — любая точка в ${\displaystyle D}$, следовательно, ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }v_{n}}$ сходится в области ${\displaystyle D}$. Пусть ${\displaystyle K}$ — произвольный круг с центром ${\displaystyle z_{1}}$ и радиусом ${\displaystyle \rho }$, лежащий в ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle {\overline {K}}}$ — концентрический круг большего радиуса ${\displaystyle R}$, также лежащий в ${\displaystyle D}$. Умножая неравенство ${\displaystyle {\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+\rho }{R-\rho }}}$, где ${\displaystyle 0\leq r<\rho }$, на ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}v_{n}(z_{1}+Re^{i\alpha })}$, и интегрируя по ${\displaystyle \alpha }$ в пределах от ${\displaystyle -\pi }$ до ${\displaystyle \pi }$, получим ${\displaystyle v_{n}(z_{1}+Re^{i\alpha })\leq {\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{n}(z_{1})}$ при ${\displaystyle 0\leq r<\rho }$, следовательно, ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }v_{n}(z)}$ мажорируется на круге ${\displaystyle K}$ числовым сходящимя рядом ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{n}(z_{1})}$ и, следовательно, равномерно сходится на ${\displaystyle K}$, но ${\displaystyle K}$ — любой круг в ${\displaystyle D}$, следовательно, ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }v_{n}(z)}$ равномерно сходится внутри ${\displaystyle D}$.

Следствие

Если возрастающая или убывающая последовательность гармонических функций в некоторой области ${\displaystyle D}$ сходится по крайней мере в одной точке этой области, то она равномерно сходится внутри ${\displaystyle D}$.

Литература

• Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М., Наука, 1980, 336 с., тир. 28000 экз.