Поток (геометрическая теория меры)

Пото́к — обобщение понятия подмногообразия играющее ключевую роль в геометрической теории меры. В частности, при помощи потоков обычно доказывается существование минимальных поверхностей с особенностями.

Потоки определяются подобно обобщённым функциям — поток есть линейный функционал на пространстве дифференциальных форм.

Определение

Обозначим через ${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$ пространство гладких ${\displaystyle m}$-форм с компактным носителем на гладком многообразии ${\displaystyle M}$. Поток определяется как  линейный функционал на ${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$ непрерывен в смысле распределений. То есть, линейный функционал

${\displaystyle T\colon \Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R} }$

есть ${\displaystyle m}$-поток, если для любой последовательности ${\displaystyle \omega _{k}}$ гладких форм, носители челнов которой лежат в одном компактном множестве, сходящейся к нулевой форме в ${\displaystyle C^{\infty }}$ имеем

${\displaystyle T(\omega _{k})\to 0}$

Замечания

• Пространство ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$ из ${\displaystyle m}$-мерных потоков на ${\displaystyle M}$ это вещественное векторное пространство.

• Многое свойства обобщенных функций переносятся на потоки. Например, можно определить носитель потока ${\displaystyle T}$ как дополнение максимальному открытому множеству ${\displaystyle U\subset M}$ такому, что

  ${\displaystyle T(\omega )=0}$ для любой формы ${\displaystyle \omega \in \Omega _{c}^{m}(U)}$.

  • Пространство ${\displaystyle m}$-мерных потоков с компактным носителем обычно обозначают ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{m}(M)}$.

• Пространство потоков естественно, наделено слабой топологией.

  ${\displaystyle T_{k}\to T\quad \iff \quad T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .\,}$

Нормы

Можно определить несколько норм на подпространстве пространства всех потоков. Одной из таких норм является масса.

${\displaystyle \mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega )\colon \sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\},}$

где ${\displaystyle |\vert \omega (x)\vert |}$ есть ${\displaystyle L^{\infty }}$-норма на пространстве форм.

Масса потока является естественным обобщением объёма подмногообразия.

Плоская норма, определяется как

${\displaystyle \mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A)\colon A\in {\mathcal {E}}_{m+1}\}.}$

Литература

• Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.