Последовательность Колакоски

Последовательность Колакоски, также последовательность Ольденбургера — Колакоски — это бесконечная последовательность чисел 1 и 2, которая является кодированием длин серий[1] и прототипом для бесконечного семейства родственных последовательностей. Первоначально она была названа в честь математика Уильяма Колакоски (William Kolakoski[англ.]), который предложил её в 1965 году[2], но последующие исследования показали, что она впервые появляется в статье Руфуса Олденбургера (Rufus Oldenburger[англ.]) в 1939 году[3].

Определение классической последовательности Колакоски

Начало последовательности Колакоски:

1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, … (последовательность A000002 в OEIS).

Последовательность, составленная из количества цифр, встречающихся в последовательности подряд, в точности совпадает с исходной последовательностью: 

1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, …
1,   2,    2,  1, 1,   2,  1,   2,    2,  1,   2,    2,  1, 1,   2,  1, 1,   2,    2,  …

И наоборот, каждое число последовательности Колакоски порождает последующие одно или два числа, чередуя единицы и двойки.

Анимация, иллюстрирующая процесс

Это свойство самогенерации показывает, что последовательность Колакоски может быть описана как фрактал, то есть математический объект, кодирующий своё представление на других масштабах.

Последовательность Колакоски считается апериодической[4], то есть не имеет повторяющегося шаблона.

Другие самогенерирующиеся последовательности Колакоски

Из конечных целочисленных множеств

Последовательность Колакоски является прототипом бесконечного семейства других последовательностей, каждая из которых имеет свою собственную кодировку длины выполнения. Некоторые из последовательностей Колакоски, перечисленных в OEIS:

Для множества {1, 3}

1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 3, 3, … (последовательность A064353 в OEIS)

Для множества {2, 3}

2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, … (последовательность A071820 в OEIS)

Для множества {1, 2, 3}

1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 3, … (последовательность A079729 в OEIS)

Как и последовательность Колакоски для {1,2}, запись длин серий возвращает ту же последовательность. В общем случае любое множество целых чисел {n1, n2, n3, …, ni} может генерировать последовательность Колакоски, если одно и то же целое число не встречается дважды или более подряд и/или в начале и в конце множества. Например, для множества {3,1,2}:

3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 1, …

И для множества {2, 1, 3, 1}:

2, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 1, …

Опять же, запись длин серий возвращает ту же последовательность.

Из бесконечных целочисленных множеств

Последовательности Колакоски также могут быть созданы из бесконечных множеств целых чисел.

Например, для множества {1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, …}:

1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 4, 4, 4, 1, 5, 5, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 6, 1, 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 8, 8, 8, 8, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 1, 10, 1, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …

Бесконечное множество {1,2,3,4,5,…} генерирует последовательность Голомба:

1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12,… (последовательность A001462 в OEIS)

Последовательность Колакоски также может быть создана из целых чисел, выбранных случайным образом из конечного множества, с ограничением, что одно и то же число не может быть выбрано дважды подряд. Для конечного множество {1,2,3} одна из возможных последовательностей такова:

2, 2, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1,…

По сути, последовательность основана на бесконечном множестве {2,1,3,1,3,2,1,2,1,3,2,…}, которая является случайной последовательностью единиц, двоек и троек, из которой были удалены повторы.

Цепочки последовательностей

Так же, как классическая последовательность Колакоски генерирует сама себя, эти две последовательности генерируют друг друга:

1,1,2,1,1,2,2,1,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,1,2,2,… (последовательность A025142 в OEIS)

2,1,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,2,1,2,1,1,2,1,2,2,… (последовательность A025143 в OEIS)

Другими словами, если выписать длины серий первой последовательности, будет создана вторая, и если выписать длины серий второй последовательности, будет создана первая.

В следующей цепочке из трёх последовательностей длины серий каждой генерируют следующую:

1,1,2,2,3,3,1,1,1,2,3,1,1,2,2,3,3,3,1,1,1,2,2,2,3,1,2,3,3,1,1,1,2,3,3,… (последовательность A288723 в OEIS)

2,2,2,3,1,1,2,2,3,3,3,1,1,1,2,3,1,2,2,3,3,1,1,2,2,2,3,1,1,2,2,2,3,3,3,… (последовательность A288724 в OEIS)

3,1,2,2,3,3,1,1,1,2,2,2,3,1,2,3,3,1,1,1,2,3,1,1,2,2,3,3,3,1,1,1,2,2,2,… (последовательность A288725 в OEIS)

Последовательности используют целочисленное множество {1,2,3}, но каждая начинается с разных элементов множества.

Следующие пять последовательностей образуют подобную цепочку, используя множество {1,2,3,4,5}:

1,1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,5,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…

2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…

3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,5,1,1,2,2,3,3,3,…

4,4,4,4,4,5,1,1,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,5,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,…

5,1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,5,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,…

Однако, для создания цепочки из n элементов, необязательно иметь множество из n элементов. Например, следующая цепочка из пяти последовательностей использует множество {1, 2}:

2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,2,2,1,…

1,2,2,1,1,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,2,…

1,2,2,1,2,1,1,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,…

1,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,…

1,1,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1,2,2,…

Каждая последовательность уникальна, и длины выполнения каждой генерируют члены следующей последовательности в цепи. Целочисленные множества, используемые для создания цепочки, также могут быть разных размеров. Из множеств {1,2} и {1,2,3,4,5} генерируются следующие последовательности:

1,2,2,1,1,2,2,2,1,1,1,2,2,2,2,1,1,1,1,1,2,1,2,2,1,1,2,2,2,…

1,2,2,3,3,4,5,1,1,2,2,3,3,4,5,1,2,2,3,3,4,4,5,5,1,2,3,4,5,…

Доля единиц в последовательности

Кажется правдоподобным, что доля единиц в классической последовательности Колакоски равна 1/2, но эта гипотеза остаётся недоказанной.[4] Václav Chvátal доказал, что верхняя граница доли единиц меньше 0.50084[5]. Джон Нильсон использовал тот же метод с гораздо большей вычислительной мощностью для получения границы 0.500080[6].

Хотя в расчётах были использованы первые 3×108 значений последовательности, по-видимому, его плотность сходятся к значению немного отличается от 1/2, но более поздние расчёты показали, что расширение последовательности в первых 1013 значения отклоняются от доли единиц 1/2 всё меньше и меньше, поэтому можно ожидать, что предельная доля единиц на самом деле 1/2[7].

Последовательность антиколакоски

В последовательности антиколакоски длины серий единиц и двоек никогда не совпадают с членами исходной последовательности:

2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, … (последовательность A049705 in the OEIS). 

2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, …
1,   2,    2,  1, 1,   2,  1,   2,    2,  1,   2,    2,  1, 1,   2,  1, 1,   2,    2,  1, …

Как видно, единицы в последовательности антиколакоски находятся на тех позициях, где в классической последовательности Колакоски стоят двойки, и наоборот.

Постоянная Колакоски

Постоянная Колакоски определяется в двоичной системе счисления следующим образом. На каждой двоичной позиции после запятой находится 1, если на соответствующей позиции классической последовательности Колакоски находится двойка, и 0, если единица[8]. Первая единица последовательности игнорируется. Таким образом,

0.11001011011001001101001011001001011…2 = 0.7945071927794792762403624156360456462…10.

См. также

Примечания

  1. ↑ N. Pytheas Fogg. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — С. 93. — ISBN 3-540-44141-7.
  2. ↑ William Kolakoski. Problem 5304 (англ.) // American Mathematical Monthly. — 1965. — Vol. 72. — P. 674.
  3. ↑ Rufus Oldenburger. Exponent trajectories in symbolic dynamics (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1939. — Vol. 46. — P. 453—466.
  4. ↑ 1 2 Clark Kimberling. Integer Sequences and Arrays. University of Evansville (13 октября 2016). Дата обращения: 9 августа 2018. Архивировано 13 ноября 2008 года.
  5. ↑ Václav Chvátal. Notes on the Kolakoski Sequence. — 1993. Архивировано 4 августа 2017 года.
  6. ↑ J. Nilsson. Letter Frequencies in the Kolakoski Sequence (24 апреля 2014). Дата обращения: 9 августа 2018. Архивировано 2 июня 2018 года.
  7. ↑ Johan Nilsson. A space-efficient algorithm for calculating the digit distribution in the Kolakoski sequence (англ.) // Journal of Integer Sequences. — No. 6. — P. 13. Архивировано 18 октября 2016 года.
  8. ↑ Kolakoski Sequence at MathWorld (16 июня 2017). Дата обращения: 9 августа 2018. Архивировано 11 августа 2018 года.

Read other articles:

Сигара

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Сигарета. Сига́ра — тютюновий виріб, у вигляді скрутки з висушених листів тютюну, який має циліндричну або близьку до циліндричної форму і має три шари: начинку із цільного, тріпаного чи різаного тютюну, підвертку із

 

USS Delaware (SSN-791)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: USS Delaware. USS Delaware Клас корабля Вірджинія Названо на честь Делавер Оператор Військово-морські сили США Виробник Newport News Shipbuilding Двигун (рушій) Ядерна силова установка Дата/час прийняття в експлуатацію 4 квітня 2020 Габаритна ш

 

Pindai jalinan

Artikel ini perlu diwikifikasi agar memenuhi standar kualitas Wikipedia. Anda dapat memberikan bantuan berupa penambahan pranala dalam, atau dengan merapikan tata letak dari artikel ini. Untuk keterangan lebih lanjut, klik [tampil] di bagian kanan. Mengganti markah HTML dengan markah wiki bila dimungkinkan. Tambahkan pranala wiki. Bila dirasa perlu, buatlah pautan ke artikel wiki lainnya dengan cara menambahkan [[ dan ]] pada kata yang bersangkutan (lihat WP:LINK untuk keterangan lebih lanjut...

Dhyta Caturani

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. Dhyta CaturaniInformasi pribadiLahir11 Januari 1975 (umur 48)IndonesiaKebangsaanIndonesiaProfesiAktifis SosialSunting kotak info • L • B Dhyta Caturani (lahir 11 Januari 1975) adalah seorang aktivis sosial Indonesia.[1] Ia b...

 

Bahasa Faliski

Bahasa FaliskiVas figur merah FaliskiDituturkan diSemenanjung Italia purbaWilayahEtruria selatan (Lazio utara)Kepunahansekitar 150 SMRumpun bahasaIndo-Eropa ItalikLatin-FaliskiFaliski Sistem penulisanFaliski, Etruria, dan Alfabet LatinKode bahasaISO 639-3xfaLINGUIST ListxfaGlottologfali1291[1] Status konservasi Punah EXSingkatan dari Extinct (Punah)Terancam CRSingkatan dari Critically endangered (Terancam Kritis) SESingkatan dari Severely endangered (Terancam berat) DESingkatan d...

 

Файл:Могила Олександра Олеся на Лук’янівському кладовищі-2017.jpg

Опис файлу Опис Могила О. Олеся та його дружини в день перепоховання на Лук’янівському кладовищі в Києві, 29.01.2017 р. Олександр Олесь Джерело Власне натурне фото Час створення 2017.01.29 Автор зображення Кальницкий Михаил Ліцензія див. нижче Ліцензування Я, власник авторських пр

British Raj

British colonial rule on the Indian subcontinent (1858–1947) This article is about the rule of India by the British Crown from 1858 to 1947. For the rule of the East India Company from 1757 to 1858, see Company rule in India. For British directly-ruled administrative divisions in India, see Presidencies and provinces of British India. India1858–1947Political subdivisions of the British Raj, commonly India, in 1909, showing British India in two shades of pink and the Princely states in yel...

 

Thorning-Schmidt II Cabinet

Thorning-Schmidt Cabinet II75th Cabinet of DenmarkDate formed3 February 2014Date dissolved28 June 2015People and organisationsHead of stateMargrethe II of DenmarkHead of governmentHelle Thorning-SchmidtMember partySocial DemocratsSocial Liberal PartyStatus in legislatureCoalition minority governmentOpposition partyVenstreOpposition leaderLars Løkke RasmussenHistoryElection(s)—Legislature term(s)2011–2015Outgoing formation2015 general electionPredecessorThorning-Schmidt Cabinet ISuccessor...

 

Lista de parlamentos por país

Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (N • L • A) (Março de 2020) Esta é uma lista de parlamentos por país, se parlamentar ou Congresso, que funcionam como um plenário geral assembleia de representantes, com o poder de legislar. Nas listas abaixo todas as entidades inscritas na lista d...

First generation of video game consoles

First video game console generation, including the Magnavox Odyssey Odyssey was released in North America in 1972 by a company called Magnavox. Part of a series on theHistory of video games Early history Early history of video games Early mainframe games Consoles History of video game consoles Console war 1st generation (1972–1983) 2nd generation (1976–1992) Video game crash of 1983 3rd generation (1983–2003) 4th generation (1987–2004) 5th generation (1993–2005) 6th generation (1998...

 

You are My Destiny

You are My DestinyPembuatKorean Broadcasting SystemDitulis olehMoon Eun-ahSutradaraKim Myung-wookPemeranIm YoonaPark Jae-jungLee Ji-hoonGong Hyun-jooNegara asalKorea SelatanJmlh. episode178ProduksiDurasiSenin sampai Jumat pukul 20:25 (WSK)Rilis asliJaringanKBS1Rilis5 Mei 2008 (2008-05-05) –9 Januari 2009 (2009-1-9) You Are My Destiny (Bahasa Hangul: 너논냬운명/ Indonesia: Kaulah Takdirku) adalah program drama yang ditayangkan oleh stasiun televisi Korea Selatan KBS 1 . N...

 

Telangana High Court

High Court for the Indian State Telangana This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Telangana High Court – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2022) (Learn how and when to remove this template message) Telangana High CourtTelangana rāṣṭra unnata n'yāyasthānaṁతెలంగాణ ...

Hamul-class destroyer tender

Hamul at anchor in Great Sound, Bermuda, on 15 July 1944 Class overview NameHamul class Operators United States Navy Preceded byDixie class Succeeded byKlondike class Completed2 Retired2 General characteristics TypeDestroyer tender Displacement 8,560 long tons (8,700 t) light 14,800 long tons (15,000 t) full load Length492 ft 5 in (150.09 m) oa Beam69 ft 8 in (21.23 m) Draft28 ft 6 in (8.69 m) PropulsionGeared turbines, 8,500...

 

Vicariato apostolico di Istanbul

Vicariato apostolico di IstanbulVicariatus Apostolicus IstanbulensisChiesa latina   Vicario apostolicoMassimiliano Palinuro Vescovi emeritiLouis Pelâtre, A.A. Presbiteri36, di cui 3 secolari e 33 regolari472 battezzati per presbitero Religiosi37 uomini, 32 donne Diaconi1 permanente  Battezzati17.000 Parrocchie12  Erezione15 aprile 1652 Ritoromano CattedraleSpirito Santo IndirizzoPapa Roncalli Sokak 65A, 34373 Inonu Mah., Sisli, Istanbul, Türkiye Dati dall'Annuario pontif...

 

مايكل شولتز

مايكل شولتز   معلومات شخصية الميلاد 10 نوفمبر 1938 (85 سنة)  ميلواكي، ويسكنسن  مواطنة الولايات المتحدة  الزوجة لورين جونز  [لغات أخرى]‏  الحياة العملية المدرسة الأم جامعة ويسكونسن-ماديسون  المهنة مخرج أفلام،  ومنتج أفلام،  ومخرج مسرحي،  ومنتج تلفز...

Chorizema carinatum

Species of legume Chorizema carinatum Near the South Coast Highway, Western Australia Conservation status Priority Three — Poorly Known Taxa (DEC) Scientific classification Kingdom: Plantae Clade: Tracheophytes Clade: Angiosperms Clade: Eudicots Clade: Rosids Order: Fabales Family: Fabaceae Subfamily: Faboideae Genus: Chorizema Species: C. carinatum Binomial name Chorizema carinatum(Meisn.) J.M.Taylor & Crisp[1] Synonyms[1] Callistachys carinata Meisn. Cho...

 

Élections législatives de 2022 en Polynésie française

2017 2024 Élections législatives de 2022 en Polynésie française 3 sièges de députés à l'Assemblée nationale 4 et 18 juin 2022 Type d’élection Élections législatives Corps électoral et résultats Inscrits 206 297 Votants au 1er tour 86 977   42,16 %  0,1 Votes blancs au 1er tour 767 Votes nuls au 1er tour 684 Votants au 2d tour 110 436   53,52 %  6,3 Votes blancs au 2d tour 1 219 Votes nuls au 2d tour 1 145 Nouvell...

 

Деліо Толедо

У Вікіпедії є статті про інших людей із прізвищем Толедо. Це іберійські ім'я та прізвище. Перше (батькове) прізвище цієї особи Толедо, а друге (материне) прізвище Родас. Деліо Толедо Особисті дані Повне ім'я Деліо Сесар Толедо Родас Народження 10 лютого 1976(1976-02-10) (48 років) &#...

Thier-Berg

Paghimo ni bot Lsjbot. 50°26′45″N 12°26′35″E / 50.44572°N 12.44314°E / 50.44572; 12.44314 Thier-Berg Bukid Nasod  Alemanya Estado pederal Saxony Gitas-on 745 m (2,444 ft) Tiganos 50°26′45″N 12°26′35″E / 50.44572°N 12.44314°E / 50.44572; 12.44314 Highest point  - elevation 797 m (2,615 ft) Width 0.99 km (1 mi) Height 52 m (171 ft) Timezone CET (UTC+1)  - summer (DST) CEST (UTC+2) GeoNames 2...

 

Warwickshire

Warwickshire á Englandi. Warwickshire (skammstafað Warks eða Warwicks) er sýsla á Mið-Englandi á Bretlandi. Höfuðborg Warwickshire er Warwick. srb Sýslur á Englandi Sýslur myndaðar af Lieutenancies Act 1997 Austur-Sussex • Austur-Yorkshire • Bedfordshire • Berkshire • Bristol • Buckinghamshire • Cambridgeshire • Cheshire • Cornwall • Cumbria • Derbyshire • Devon • Dorset • Durham-sýsla • Essex • Gloucestershire • Hampshire • Herefordshire • He...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!