Поверхность Иноуэ

Поверхность Иноуэ — это некоторые комплексные поверхности Кодайры класса VII^[англ.]. Поверхности названы именем Масахита Иноуэ, который привёл первые нетривиальные примеры поверхностей Кодайры класса VII в 1974^[1].

Поверхности Иноуэ не являются кэлеровыми многообразиями.

Поверхности Иноуэ с b₂ = 0

Иноуэ привёл три семейства поверхностей, S⁰, S⁺ и S⁻, которые являются компактными факторами ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H}$ (произведения комплексной плоскости на полуплоскость). Эти поверхности Иноуэ являются разрешимыми многообразиями^[англ.]. Они получаются как фактор ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H}$ по разрешимой дискретной группе, которая действует голоморфно на ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H}$.

Все разрешимые поверхности, которые построил Иноуэ, имеют второе число Бетти ${\displaystyle b_{2}=0}$. Эти поверхности являются поверхностями Кодайры класса VII^[англ.], что означает, что для них ${\displaystyle b_{1}=1}$ и размерность Кодайры^[англ.] равна ${\displaystyle -\infty }$. Как доказали Богомолов^[2], Ли-Яу^[3] и Телеман^[4], любая поверхностями класса VII^[англ.] с b₂ = 0 является поверхностью Хопфа или разрешимым многообразием иноуэвого типа.

Эти поверхности не имеют мероморфных функций, а также кривых.

К. Хасегава^[5] привёл список всех комплексных двумерных разрешимых многообразий. Это комплексный тор, гиперэллиптическая поверхность, поверхность Кодайры^[англ.] и поверхности Иноуэ S⁰, S⁺ и S⁻.

Поверхности Иноуэ строятся явным образом, как описано ниже^[5].

Поверхности типа S⁰

Пусть ${\displaystyle \phi }$ будет целочисленной 3 × 3 матрицей с двумя комплексными собственными значениями ${\displaystyle \alpha ,{\bar {\alpha }}}$ и вещественным собственным значением c>1, при этом ${\displaystyle |\alpha |^{2}c=1}$. Тогда ${\displaystyle \phi }$ обратима в целых числах и определяет действие группы ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$ целых чисел на ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{3}}$. Пусть ${\displaystyle \Gamma :={\mathbb {Z} }^{3}\rtimes {\mathbb {Z} }}$. Эта группа является решёткой в разрешимой группе Ли

${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }=({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })\rtimes {\mathbb {R} }}$,

действующей на ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }}$, при этом группа действует на ${\displaystyle ({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })}$-часть путём переносов, а на ${\displaystyle \rtimes {\mathbb {R} }}$-часть как ${\displaystyle (z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)}$.

Мы расширяем это действие на ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0}}$, положив ${\displaystyle v\mapsto e^{\log ct}v}$, где t — параметр ${\displaystyle \rtimes {\mathbb {R} }}$-части группы ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }}$. Действие тривиально на факторе ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ по ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0}}$. Это действие заведомо голоморфно и фактор ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H/\Gamma }$ называется поверхностью Иноуэ типа S⁰.

Поверхность Иноуэ S⁰ определяется выбором целочисленной матрицы ${\displaystyle \phi }$, с вышеуказанными ограничениями. Существует счётное количество таких поверхностей.

Поверхности типа S⁺

Пусть n — положительное целое число, а ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ — группа верхних треугольных матриц

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x&{\frac {z}{n}}\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}},}$,

где x, y, z — целые числа. Рассмотрим автоморфизм ${\displaystyle \Lambda _{n}}$, который обозначим ${\displaystyle \phi }$. Фактор группы ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ по её центру C — это ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{2}}$. Предположим, что ${\displaystyle \phi }$ действует на ${\displaystyle \Lambda _{n}/C={\mathbb {Z} }^{2}}$ как матрица с двумя положительными вещественными собственными значениями a, b, при этом ab = 1.

Рассмотрим разрешимую группу ${\displaystyle \Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes {\mathbb {Z} }}$, с ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$, действующей на ${\displaystyle \Lambda _{n}}$, как ${\displaystyle \phi }$. Отождествляя группу верхних треугольных матриц с ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$, мы получим действие ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }}$. Определим действие ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ на ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0}}$ с ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ действующим тривиально на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0}}$-часть и ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$ действует как ${\displaystyle v\mapsto e^{t\log b}v}$. Те же аргументы, что и для поверхностей Иноуэ типа ${\displaystyle S^{0}}$, показывают, что это действие голоморфно. Фактор ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H/\Gamma _{n}}$называется поверхностью Иноуэ типа ${\displaystyle S^{+}}$.

Поверхности типа S⁻

Поверхности Иноуэ типа ${\displaystyle S^{-}}$ определяются тем же способом, что и S⁺, однако два собственных значения a, b автоморфизма ${\displaystyle \phi }$, действующего на ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{2}}$, имеют противоположные знаки и выполняется равенство ab = −1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S⁺, поверхность Иноуэ типа S⁻ имеет неразветвлённое двойное покрытие типа S⁺.

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями Кодайры класса VII, которые определил Ику Накамура в 1984^[6]. Они не являются разрешимыми многообразиями. Эти поверхности имеют положительное второе число Бетти. Поверхности имеют сферические оболочки и могут быть деформированы в раздутие поверхности Хопфа.

Параболические поверхности Иноуэ содержат цикл рациональных кривых с 0 самопересечений и эллиптическую кривую. Они являются частным случаем поверхностей Эноки, имеющих цикл рациональных кривых с нулём самопересечений, но без эллиптической кривой. Полуповерхность Иноуэ содержит цикл C рациональных кривых и является фактором гиперболической поверхности Иноуэ с двумя циклами рациональных кривых.

Гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями класса VII₀ с двумя циклами рациональных кривых^[7].

Примечания

1. Inoue, 1974, с. 269-310.
2. Богомолов, 1976, с. 273–288.
3. Li, Yau, 1987, с. 560-573.
4. Teleman, 1994, с. 253-264.
5. Hasegawa, 2005, с. 749-767.
6. Nakamura, 1984, с. 393-443.
7. Nakamura, 2008.

Литература

• Keizo Hasegawa. Complex and Kahler structures on Compact Solvmanifolds // J. Symplectic Geom.. — 2005. — Т. 3, вып. 4. — С. 749-767.
• Богомолов Ф. А. Классификация поверхностей класса VII₀ с b₂ = 0 // Изв. АН СССР. — 1976. — Т. 40, вып. 2.
• Li J., Yau S., T. Hermitian Yang-Mills connections on non-Kahler manifolds // Math. aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986). — Adv. Ser. Math. Phys.. — World Scientific Publishing, 1987. — Т. 1.
• Nakamura I. On surfaces of class VII₀ with curves // Inventiones math.. — 1984. — Т. 78.
• Inoue M. On surfaces of class VII₀ // Inventiones math.. — 1974. — Т. 24.
• Teleman A. Projectively flat surfaces and Bogomolov's theorem on class VII₀-surfaces // Int. J. Math.. — 1994. — Т. 5, вып. 2.
• Nakamura I. Survey on VII₀ surfaces // Recent Developments in NonKaehler Geometry. — Sapporo, 2008.