Отношение направленных отрезков

Отноше́ние напра́вленных отре́зков — инвариант аффинной геометрии. Используется в формулировках теоремы Менелая, теоремы Чевы, теоремы Ван-Обеля и других.

Определение

Отношение направленных отрезков определено для двух отрезков ${\displaystyle XY}$ и ${\displaystyle ZT}$ на одной прямой (или на параллельных прямых) и обозначается ${\displaystyle {\frac {XY}{ZT}}}$. С точностью до знака оно равно отношению длин ${\displaystyle {\frac {|XY|}{|ZT|}}}$, и величина ${\displaystyle {\frac {XY}{ZT}}}$ положительна, если ${\displaystyle {\overrightarrow {XY}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {ZT}}}$ сонаправлены, и отрицательна, если противонаправлены. Другими словами, величина ${\displaystyle {\frac {XY}{ZT}}}$ определяется как число, удовлетворяющее следующему соотношению:

${\displaystyle {\overrightarrow {XY}}={\frac {XY}{ZT}}\cdot {\overrightarrow {ZT}}.}$

Связанные определения

Если три точки ${\displaystyle X,Y,Z}$ лежат на одной прямой, то отношение направленных отрезков ${\displaystyle {\frac {XY}{YZ}}}$ называется также простым отношением точек ${\displaystyle X,Y,Z}$; оно положительно если ${\displaystyle Y}$ лежит между ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Z}$ и отрицательно если ${\displaystyle Y}$ лежит вне отрезка ${\displaystyle XZ}$.

Свойства

• Отношение направленных отрезков является инвариантом аффинных преобразований.

См. также

• Двойное отношение
• Пропорциональные отрезки

Ссылки

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).