Мультипликативная функция

Мультипликативная функция в теории чисел ― арифметическая функция ${\displaystyle f(m)}$, такая, что для любых взаимно простых чисел ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ выполнено:

${\displaystyle f(m_{1}m_{2})=f(m_{1})f(m_{2})}$

и

${\displaystyle f(1)=1}$.

При выполнении первого условия, требование ${\displaystyle f(1)=1}$ равносильно тому, что функция ${\displaystyle f(m)}$ не равна тождественно нулю.

Функции ${\displaystyle f(m)}$, для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$, называются вполне мультипликативными. Функция ${\displaystyle f}$ вполне мультипликативна тогда и только тогда, когда для любых натуральных ${\displaystyle x,y}$ выполняется соотношение ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если:

${\displaystyle f(p^{\alpha })=f(p)}$

для всех простых ${\displaystyle p}$ и всех натуральных ${\displaystyle \alpha }$.

Примеры:

• функция ${\displaystyle \tau (m)}$ ― число натуральных делителей натурального ${\displaystyle m}$;
• функция ${\displaystyle \sigma (m)}$ ― сумма натуральных делителей натурального ${\displaystyle m}$;
• функция Эйлера ${\displaystyle \varphi (m)}$;
• функция Мёбиуса ${\displaystyle \mu (m)}$.
• функция ${\displaystyle {\frac {\varphi (m)}{m}}}$ является сильно мультипликативной.
• степенная функция ${\displaystyle f(m)=m^{\alpha }}$ является вполне мультипликативной.

Построение

Из основной теоремы арифметики следует, что можно произвольно задать значения мультипликативной функции ${\displaystyle f(n)}$ на простых числах и их степенях, а также определить ${\displaystyle f(1)=1;}$ все прочие значения полученной функции определяются из свойства мультипликативности.

Произведение любых мультипликативных функций также является мультипликативной функцией.

Если ${\displaystyle f(m)}$ — мультипликативная функция, то функция

${\displaystyle g(m)=\sum _{d|m}f(d)}$

также будет мультипликативной. Обратно, если функция ${\displaystyle g(m)}$, определённая этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция ${\displaystyle f(m)}$ также мультипликативна.

Более того, если ${\displaystyle f(m)}$ и ${\displaystyle g(m)}$ — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свёртка Дирихле:

${\displaystyle h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)}$

Литература

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
• Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.