Родился 12 (25) декабря 1909 года в местечке Кривой Рог. После смерти отца воспитывался в детдоме. Окончил семилетнюю школу.
В 1926 году поступил на химический факультет Харьковского государственного университета. С 1926 года — член ВЛКСМ. По окончании в 1933 году университета руководил химической лабораторией на Харьковском станкостроительном заводе. В 1935—1936 годах проходил службу в Рабоче-крестьянской Красной армии. После армии трудился старшим лаборантом кафедры качественного анализа химического факультета Харьковского университета[1]. В 1939 году Курячий повторно был призван в армию.
С июня 1941 года на фронтах Великой Отечественной войны. К январю 1943 года гвардии капитан Константин Курячий командовал батареей 33-го гвардейского кавалерийского полка 8-й гвардейской кавалерийской дивизии 6-го гвардейского кавалерийского корпуса 3-й танковой армииВоронежского фронта. Отличился во время боёв за Белгородскую и Харьковскую области[2].
В январе 1943 года батарея Курячего принимала активное участие в боях за Валуйки и Волоконовку, уничтожив 10 танков, 7 бронемашин, 19 автомашин, большое количество солдат и офицеров противника. 14 февраля 1943 года в районе сёл Медведевка и ПарасковияНововодолажского района Харьковской области Украинской ССР батарея Курячего уничтожила ещё 7 танков, 1 бронетранспортёр, около 120 солдат и офицеров противника.
15 февраля 1943 года у села Мелиховка (ныне Николаевка) того же района Курячий погиб. Первоначально был похоронен в Николаевке, 16 апреля 1944 года перезахоронен на харьковском городском кладбище № 2[2].
Указом Президиума Верховного Совета СССР «О присвоении звания Героя Советского Союза генералам, офицерскому, сержантскому и рядовому составу Красной Армии» от 10 января 1944 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство» был удостоен посмертно высокого звания Героя Советского Союза[3].
Герои Советского Союза: Краткий биографический словарь / Пред. ред. коллегии И. Н. Шкадов. — М.: Воениздат, 1987. — Т. 1 /Абаев — Любичев/. — 911 с. — 100 000 экз. — ISBN отс., Рег. № в РКП 87-95382.
Курячий, Константин Николаевич // И генерал, и рядовой… : Очерки о Героях Советского Союза, уроженцах Днепропетровской области / Н. И. Воробьёв, С. А. Герасименко, В. Л. Головко и др. ; сост. А. Ф. Снитко ; ред. Г. В. Николенко, К. К. Чернышев. — Днепропетровск : Промінь, 1983. — С. 275—277. — 567 с. — (Герои Советского Союза).
Калинин В. В., Макаренко Д. Г. Герои подвигов на Харьковщине / Харьков, 1970.
Курячий, Константин Николаевич // Энциклопедия Криворожья : [укр.] : у 2 т. / Сост. В. Ф. Бухтияров. — Кривой Рог : Явва, 2005. — Т. 1. А—К. — С. 691—692. — 704 с. — 2600 экз. — ISBN 966-96328-1-1 (т. 1. А—К).
Донской Я. Е., Жизнь — подвиг : Очерк о командире батареи 33 кавполка кап. К. Н. Курячем, — Москва : Воениздат, 1967. — 77 с. : портр. ; 16 см. — (Герои и подвиги)