Критерий устойчивости Рауса

Крите́рий усто́йчивости Ра́уса — один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса — Гурвица) является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости (в отличие от частотных критериев — таких, как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова). Предложен Э. Дж. Раусом в 1875 г.^[1]

Несмотря на то, что критерий Рауса исторически предложен ранее критерия Гурвица, его можно использовать как более удобную схему расчёта определителей Гурвица, особенно при больши́х степенях характеристического полинома^[2].

К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ с помощью рекурсивного алгоритма, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности метода: при его применении сложно получить информацию о степени устойчивости, о её запасах.

Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть ${\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}}$ — передаточная функция системы, а ${\displaystyle \ U(s)=0}$ — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином ${\displaystyle \ U(s)}$ в виде

${\displaystyle \ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n}}$

Критерий Рауса представляет собой алгоритм, по которому составляется специальная таблица, в которую коэффициенты характеристического полинома записывают таким образом, что:

1. в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания;
2. во второй строке — с нечётными;
3. остальные элементы таблицы определяются по формуле: ${\displaystyle \ c_{k,i}=c_{k+1,i-2}-r_{i}\cdot c_{k+1,i-1}}$, где ${\displaystyle r_{i}={\frac {c_{1,i-2}}{c_{1,i-1}}},i\geq 3}$ — номер строки, ${\displaystyle \ k}$ — номер столбца;
4. число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Таблица Рауса:

${\displaystyle \ ri}$	${\displaystyle \Downarrow i\Longrightarrow k}$	1	2	3	4
-	1	${\displaystyle \ c_{1,1}=a_{0}}$	${\displaystyle \ c_{2,1}=a_{2}}$	${\displaystyle \ c_{3,1}=a_{4}}$	...
-	2	${\displaystyle \ c_{1,2}=a_{1}}$	${\displaystyle \ c_{2,2}=a_{3}}$	${\displaystyle \ c_{3,2}=a_{5}}$	...
${\displaystyle r_{3}={\frac {c_{1,1}}{c_{1,2}}}}$	3	${\displaystyle c_{1,3}=c_{2,1}-r_{3}\cdot c_{2,2}}$	${\displaystyle c_{2,3}=c_{3,1}-r_{3}\cdot c_{3,2}}$	${\displaystyle c_{3,3}=c_{4,1}-r_{3}\cdot c_{4,2}}$	...
${\displaystyle r_{4}={\frac {c_{1,2}}{c_{1,3}}}}$	4	${\displaystyle c_{1,4}=c_{2,2}-r_{4}\cdot c_{2,3}}$	${\displaystyle c_{2,4}=c_{3,2}-r_{4}\cdot c_{3,3}}$	${\displaystyle c_{3,4}=c_{4,2}-r_{4}\cdot c_{4,3}}$	...
...	...	...	...	...	...

Формулировка критерия Рауса:

Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса ${\displaystyle \ c_{1,1},c_{1,2},c_{1,3},...}$ были положительны. Если это не выполняется, то система неустойчива.

См. также

• Критерий устойчивости Гурвица
• Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова
• Теорема Рауса — Гурвица
• Теорема Эрмита — Билера
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем

Примечания

1. Постников, 1981, с. 15—16.
2. Чернецкий, 1996, с. 264—267.

Литература

• Постников М. М.  Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. — 176 с.
• Чернецкий В. И.  Математическое моделирование динамических систем. — Петрозаводск: Петрозаводский гос. ун-т, 1996. — 432 с. — ISBN 5-230-08981-4..