На чемпионате мира среди юниоров 2012 года в Роккаразо в возрасте 17 лет он завоевал три медали в различных дисциплинах: золото — в гигантском слаломе и 2 серебра — в слаломе и комбинации. На следующий год на чемпионате мира среди юниоров в Квебеке выиграл золото в комбинации. В 2014 и 2015 годах на чемпионатах мира среди юниоров, уже после своей бронзы на Олимпийских играх в Сочи, делал «золотые дубли», побеждая в слаломе и гигантском слаломе. В результате Хенрик стал одним из самых титулованных горнолыжников в истории чемпионатов мира среди юниоров.
Взрослая
2012—2018
В Кубке мира Хенрик дебютировал в словенской Краньской-Горе в марте 2012 года, впервые на подиум на этапе Кубка поднялся на втором этапе сезона 2013/2014 в слаломе, заняв третье место. Свою первую победу в Кубке мира одержал 28 января 2014 года в слаломе в австрийском Шладминге, обойдя австрийца Марселя Хиршера и немца Феликса Нойротера. По итогам сезона 2013/14 19-летний норвежец стал седьмым в общем зачёте Кубка мира, а также третьим в зачёте слалома.
На Олимпийских играх дебютировал в 2014 году в Coчи, где стал бронзовым призёром в слаломе, хотя после первого заезда шёл только на 15-м месте. На момент завоевания этой медали Хенрику было 19 лет и 235 дней, он стал самым молодым мужчиной, который завоевал олимпийскую медаль в горнолыжном спорте (прежний рекорд принадлежал австрийцу Альфреду Матту и равнялся 19 годам и 281 дню).
В начале сезона 2014/15 в Хенрик повторяет свой успех, одерживая свою вторую победу на этапе Кубка мира в соревнованиях слалома, что проходили в финском Леви. На предпоследнем этапе Кубка мира, предшествующему финалу, Херник одерживает очередную победу на этапе слалома, что проходит в словенской Краньской-Горе. По итогам 2014/15 Хенрик стал восьмым зачёте Кубка мира, четвёртым в зачёте слалома и шестым в зачёте гигантского слалома.
Сезон 2015/16 стал для Хенрика самым успешным. Он смог выиграть 6 этапов кубка в дисциплине слалома, а также составил достойную конкуренцию австрийцу Марселю Хиршеру, что позволило ему выиграть свой первый малый хрустальный глобус в зачёте слалома по итогам сезона. В зачёте Кубка мира Хенрик стал вторым, набрав 1298 очков.
В сезоне 2016/17 одержал пять побед в слаломе, однако не сумел выиграть зачёт этой дисциплины, отстав от Марселя Хиршера на 160 очков. В общем зачёте Хенрик набрал 903 очка и занял третье место после Хиршера (1599) и Хьетиля Янсруда (924).
На чемпионате мира 2017 года в Санкт-Морице был одним из основных претендентов на медали в слаломе и гигантском слаломе. В гигантском слаломе Кристофферсен в борьбе за третье место уступил 0,05 сек своему соотечественнику Лейфу Кристиану Хёугену и остался 4-м. В слаломе также занял 4-е место, проиграв бронзовому призёру Феликсу Нойройтеру 0,11 сек.
В сезоне 2017/18 Кристофферсен сумел одержать всего одну победу (слалом в Кицбюэле), но благодаря стабильным выступлениям второй раз в карьере стал вторым в общем зачёте Кубка мира, а также впервые занял второе место в зачёте гигантского слалома.
На Олимпийских играх 2018 года занял второе место в гигантском слаломе, показав лучшее время во втором заезде (после первого Хенрик был только 10-м). По сумме двух попыток отстал от Хиршера на 1,27 сек и всего на 0,04 сек опередил ставшего третьим француза Алексиса Пентюро. В слаломе Хенрик показал лучшее время в первой попытке (фаворит Марсель Хиршер сошёл с трассы) и имел реальные шансы на олимпийское золото, но во второй попытке не сумел финишировать. Победа досталась шведу Андре Мюреру.
24 февраля 2019 года одержал первую победу в Кубке мира за последние 13 месяцев, выиграв гигантский слалом в Банско. С первой победы в гигантском слаломе в Кубке мира прошло почти 4 года. 9 марта вновь выиграл гигантский слалом в Краньской-Горе.
22 декабря 2019 года выиграл гигантский слалом в Альта-Бадье, эта победа стала для Хенрика 20-й на этапах Кубка мира. Всего в сезоне 2019/20 до его остановки в марте из-за пандемии Covid-19 одержал три победы. При этом Хенрик впервые в карьере победил в зачёте гигантского слалома в Кубке мира, а также второй раз после 2016 года стал лучшим в зачёте слалома. В общем зачёте Кубка мира Хенрик стал третьим, это пятое подряд попадание в тройку лучших общего зачёта Кубка мира.
22 декабря 2020 года третий раз в карьере выиграл слалом в Кубке мира в итальянской Мадонне-ди-Кампильо. 31 января 2021 года выиграл ещё один слалом во французском Шамони.
19 декабря 2021 года победил в гигантском слаломе на этапе Кубка мира в итальянской Альта-Бадии. Таким образом, сезон 2021/22 стал девятым подряд, в котором Кристофферсен выиграл как минимум один этап Кубка мира.
После Олимпийских игр норвежец набрал отличную форму. 26 и 27 февраля выиграл два слалома на этапе Кубка мира в Гармиш-Партенкирхене. 12 и 13 марта 2022 года выиграл два гигантских слалома на этапе Кубка мира в Краньской-Горе. По итогам сезона выиграл зачёт слалома в Кубке мира, а в общем зачёте занял третье место.
4 января 2023 года выиграл слалом в Гармиш-Партенкирхене (сезон 2022/23 стал 10-м подряд, в котором Кристофферсен выиграл как минимум один этап Кубка мира), а 15 января победил в слаломе в Венгене. Эта победа стала для Хенрика 30-й в Кубке мира, он стал 11-м горнолыжником, выигравшим не менее 30 этапов мужского Кубка мира за карьеру.
19 февраля 2023 года выиграл золото в слаломе на чемпионате мира в Куршевеле. При этом Хенрик шёл только 16-м после первой попытки, но во второй показал лучшее время и стал чемпионом.
В сезоне 2023/24 Кристофферсен впервые за последние 11 сезонов не сумел выиграть ни одного этапа Кубка мира. Кристофферсен дважды был третьим в слаломе и один раз вторым в гигантском слаломе. Однако благодаря стабильным выступлениям Кристофферсен занял 4-е место в общем зачёте Кубка мира, 11-й раз подряд попав в топ-8 общего зачёта Кубка мира.
15 декабря 2024 года выиграл слалом в Валь-д’Изере, победив на этапе Кубка мира впервые за 23 месяца. Сезон 2024/25 стал 11-м, в котором Кристофферсен выиграл как минимум один этап Кубка мира.
Использует лыжи и ботинки производства фирмы Van Deer.