Коницка родился в Люнене (Вестфалия). С 14-ти лет он работал на угольной шахте[2], одновременно играя за местный клуб «08 Люнен». В 1958 году талантливого нападающего заметил главный тренер дортмундской «Боруссии» Макс Меркель, который организовал переход Фридхельма в свою команду. В новом клубе Коницка стал одним из лидеров атаки, составив эффективную связку с Йюргеном Шюцем. Всего за время выступления в региональной Оберлиге «Запад» нападающий забил 84 гола в 107 матчах[3]. В 1963 году «Боруссия» стала чемпионом ФРГ, при этом Коницка забил 5 голов в 5 матчах чемпионата.
24 августа 1963 года Коницка стал автором первого гола «Боруссии» в Бундеслиге, забив мяч в ворота «Вердера». В сезоне 1964/65 он стал обладателем Кубка ФРГ, после чего перешёл в клуб «Мюнхен 1860». В первом же сезоне за новую команду Коницка выиграл Бундеслигу, забив 26 голов в 33 матчах (второй результат чемпионата после Лотара Эммериха). Однако в начале сезона 1966/67 игрок получил шестимесячную дисквалификацию за нападение на судью, что подорвало его карьеру в Германии. До завершения сезона Коницка ещё успел сыграть в 7 матчах чемпионата, после чего перешёл в швейцарский клуб «Винтертур», выступавший на тот момент во втором дивизионе.
Благодаря голам Коницки, «Винтертур» по итогам сезона 1967/68 сумел пробиться в высший дивизион и дойти до финала Кубка Швейцарии. В 1971 году Коницка перешёл в другой швейцарский клуб «Цюрих», где занял пост играющего тренера. По окончании сезона он стал обладателем кубка страны.
В 1973 году завершил игровую карьеру.
Карьера в сборной
Несмотря на высокую результативность, Коницка редко вызывался в национальную сборную. В общей сложности он провёл за сборную ФРГ лишь 9 матчей, в том числе один в рамках отбора к чемпионату мира 1966 года.
В качестве главного тренера Коницка возглавлял ряд швейцарских и немецких клубов. Наибольшего успеха он добился с «Цюрихом», трижды подряд выиграв чемпионат Швейцарии с 1974 по 1976 годы, а также дойдя до полуфинала Кубка европейских чемпионов в сезоне 1976/77, где «Цюрих» проиграл «Ливерпулю». Возглавляя «Янг Бойз», Коницка дважды подряд доходил до финала Кубка Швейцарии в 1979 и 1980 годах, а в 1982 году вновь стал чемпионом страны вместе с «Грассхоппером». В 1984 году он непродолжительное время тренировал дортмундскую «Боруссию».
В 1985 году Коницка официально сменил своё имя на Тимо, а 2 августа 1988 года получил швейцарское гражданство. После завершения карьеры он проживал в городке Бруннен возле Фирвальдштетского озера, где вместе со своей супругой Клаудией содержал гостевой дом «Оксен».
Смерть
В последние годы жизни Коницка страдал от рака. В начале 2012 года он принял решение добровольно уйти из жизни при помощи эвтаназии.