Инъективная оболочка

Инъективная оболочка множества точек на плоскости с метрикой городских кварталов.

Инъективная оболочка — конструкция в метрической геометрии, дающая наименьшее инъективное метрическое пространство, включающее данное метрическое пространство. Эта конструкция во многом аналогична конструкции выпуклой оболочки для множеств в евклидовом пространстве.

Инъективная оболочка была впервые описана Джоном Исбелом в 1964 году.^[1] Позже была переоткрыта несколько раз.^[2][3]

Построение

На данном метрическом пространстве ${\displaystyle M}$ рассматриваются все функции ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ такие, что

${\displaystyle f(x)+f(y)\geqslant |x-y|_{M}\geqslant |f(x)-f(y)|}$ для любых ${\displaystyle x,y\in M}$,

для любого ${\displaystyle x\in M}$ существует ${\displaystyle y\in M}$ такое, что ${\displaystyle f(x)+f(y)-|x-y|_{M}}$ произвольно мало.

Далее множество этих функций снабжается метрикой

${\displaystyle |f-h|=\sup _{x\in M}|f(x)-h(x)|_{M}.}$

Полученное метрическое пространство ${\displaystyle W}$ называется инъективной оболочкой ${\displaystyle M}$.

Замечания

• Пространство ${\displaystyle M}$ можно рассматривать как подпространство ${\displaystyle W}$; необходимое отображение ${\displaystyle M\to W}$ получается сопоставлением каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ её дистанционной функции ${\displaystyle z\mapsto |x-z|_{M}}$.

Свойства

• Инъективная оболочка является инъективным пространством.

• Инъективная оболочка компактного пространства компактна.
  • В частности, любое компактное пространство является подпространством компактного пространства с внутренней метрикой.

• Пусть ${\displaystyle {\hat {X}}}$ и ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ — инъективные оболочки компактных метрических пространств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$. Тогда

  ${\displaystyle d_{GH}({\hat {X}},{\hat {Y}})\leq 2\cdot d_{GH}(X,Y),}$

где ${\displaystyle d_{GH}}$ обозначает метрику Громова — Хаусдорфа.

• Константа 2 в этом неравенстве является оптимальной.^[4]

• Инъективная оболочка банахова пространства является банаховым пространством.^[5]

Примечания

1. Isbell, J. R. Six theorems about injective metric spaces (англ.) // Commentarii Mathematici Helvetici^[англ.] : journal. — 1964. — Vol. 39. — P. 65—76. — doi:10.1007/BF02566944.
2. Dress, Andreas W. M. (1984), "Trees, tight extensions of metric spaces, and the cohomological dimension of certain groups", Advances in Mathematics, 53 (3): 321—402, doi:10.1016/0001-8708(84)90029-X
3. Chrobak, Marek; Larmore, Lawrence L. (1994), "Generosity helps or an 11-competitive algorithm for three servers", Journal of Algorithms, 16 (2): 234—263, doi:10.1006/jagm.1994.1011.
4. Lang, Urs; Pavón, Maël; Züst, Roger. Metric stability of trees and tight spans (англ.) // Arch. Math. (Basel). — 2013. — Vol. 101, no. 1. — P. 91–100.
5. Isbell, J. R. Injective envelopes of Banach spaces are rigidly attached (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. — 1964. — Vol. 70. — P. 727–729.