Интеграл Коши — Лагранжа

Механика сплошных сред
Сплошная среда
Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса
Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость
Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение
Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнение Громеки — Лэмба · Уравнение Бернулли · Интеграл Коши — Лагранжа · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение вихря · Уравнение диффузии · Закон Гука
См. также: Портал:Физика

Интеграл Коши — Лагранжа — интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений. В отличие от интеграла Бернулли интеграл Коши — Лагранжа может применяться к нестационарным течениям, что позволяет применять его к анализу волн на поверхности жидкости.

Варианты названия

В русскоязычной литературе наряду с названием интеграл Коши — Лагранжа^[1] и интеграл Лагранжа — Коши^[2] используются термины интеграл Коши^[3], интеграл Лагранжа^[4]. В англоязычной литературе интеграл либо не имеет специального названия^[5], либо считается специальной формой интеграла Бернулли для неустановившихся течений (англ. unsteady form of Bernoulli's equation^[6], Bernoulli's theorem for unsteady potential flow^[7])

Историческая справка

В общем виде интеграл Коши — Лагранжа был установлен в 1755 году Леонардом Эйлером^[8]. Позже интеграл использовался Лагранжем в работе по теории течений идеальной жидкости^[9] и Коши в работе по теории гравитационных волн на поверхности жидкости^[10].

Формулировка

Течение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести

Интеграл Коши — Лагранжа может быть введён только для потенциальных течений идеальной жидкости, для которых вектор скорости, ${\displaystyle \mathbf {V} }$, выражается через потенциал скорости, ${\displaystyle \mathbf {V} =\nabla \,\varphi (x,y,z,t)}$, или, что то же самое, для безвихревых (англ. irrotational) течений, в которых завихренность тождественно равна нулю: ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {V} \equiv 0}$^[2]. В частном случае потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести интеграл Коши — Лагранжа имеет вид^[11][12]

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {(\nabla \,\varphi )^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),}$

где — ${\displaystyle p(x,y,z,t)}$ — давление в жидкости, ${\displaystyle \rho }$ — её плотность (предполагается постоянной в модели несжимаемой жидкости), ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ — декартовы координаты (ось ${\displaystyle z}$ направлена вертикально вверх, против силы тяжести). Здесь ${\displaystyle f(t)}$ — некоторая функция времени, которую можно принять тождественно равной нулю, если сделать замену потенциала скорости ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}(x,y,z,t)=\varphi (x,y,z,t)-\int f(t)\,dt}$ (при такой замене поле скоростей, определяемое пространственными производными от потенциала, не меняется).

Общий случай

В общем случае потенциального течения идеальной жидкости интеграл Коши — Лагранжа справедлив, если имеется однозначная связь между плотностью и давлением, ${\displaystyle \rho =\rho (p)}$ (такие течения называются баротропными). В этом случае векторное поле массовой силы (действующей на жидкость объемной силы, отнесённой к единице массы) обязательно будет потенциальным: ${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \,\Pi ,}$ где ${\displaystyle \Pi (x,y,z,t)}$ — потенциал массовой силы (не путать с потенциалом скорости ${\displaystyle \varphi }$), и интеграл Коши — Лагранжа записывается в форме

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {(\nabla \,\varphi )^{2}}{2}}+\int {\frac {dp}{\rho (p)}}+\Pi =f(t).}$

См. также

• Интеграл Бернулли
• Bernoulli equation for unsteady potential flow

Примечания

1. Седов Л. И., 1970, с. 149.
2. Лойцянский Л. Г., 2003, §48. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого движения, с. 163.
3. Кочин, Кибель, Розе, 1963.
4. Гидромеханика идеальной жидкости
5. Ламб Г. §20 // Гидродинамика. — М.-Л.: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1947. — С. 35-36. — 928 с.
6. Kundu, Cohen, 2002, Unsteady Irrotational Flow, p. 121.
7. Faber Т.Е. 4.3 Bernoulli's theorem for unsteady potential flow // Fluid dynamics for physicists (англ.). — Cambridge University Press, 1995. — P. 122-123. — 440 p.
8. • Euler L. Principes généraux du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1757 (1755). — Т. 11. — С. 274–315. Архивировано 7 декабря 2013 года.;
   • русский перевод: Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6. Архивировано 7 декабря 2013 года.;
   • исторический комментарий:Михайлов Г. К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII век) // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6. Архивировано 7 декабря 2013 года.
9. Lagrange. Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides // Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin. — 1781. Архивировано 7 декабря 2013 года.
10. Cauchy. Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie // Mémoires présentés par divers savants à l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France. Sciences mathématiques et physiques. — 1827. — Т. 1.
11. Лойцянский Л. Г., 2003, §48. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого движения, с. 163—164: «Комбинация уравнений (15) и (12) при ${\displaystyle \Pi =gz}$».
12. Кочин, Кибель, Розе, 1963: «уравнения (2.6), (2.7)».

Литература

• Кочин Н. Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 1. — С. 114. — 584 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI).
• Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — С. 163—166. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6.
• Седов Л. И. Глава 11. Потенциальные течения несжимаемой жидкости. Интеграл Коши — Лагранжа // Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — С. 149—157. — 568 с.
• Kundu P. K., Cohen I. M. Fluid Mechanics (англ.). — Academic Press, 2002. — 730 p.