Дерево Калкина — Уилфа

Дерево Калкина — Уилфа

Дерево Ка́лкина — Уи́лфа (англ. Calkin—Wilf tree) — ориентированное двоичное дерево, в вершинах которого расположены положительные рациональные дроби согласно следующему правилу:

• корень дерева — дробь ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$;
• вершина с дробью ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ имеет двух потомков: ${\displaystyle {\frac {m}{m+n}}}$ (левый) и ${\displaystyle {\frac {m+n}{n}}}$ (правый).

Дерево описано Нейлом Калкином и Гербертом С. Уилфом^[англ.] (2000^[1]) в связи с задачей явного пересчёта^[2] множества рациональных чисел.

Свойства дерева Калкина — Уилфа

Основные свойства

• Все дроби, расположенные в вершинах дерева, несократимы;
• Любая несократимая рациональная дробь встречается в дереве в точности один раз.

Последовательность Калкина — Уилфа

Обход «в ширину» дерева Калкина — Уилфа (путь обхода показан розовой спиралью)

Из приведенных выше свойств следует, что последовательность положительных рациональных чисел, получаемая в результате обхода «в ширину»^[3] (англ. breadth-first traversal) дерева Калкина — Уилфа (называемая также последовательностью Калкина — Уилфа; см. иллюстрацию),

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{1}},{\frac {1}{3}},{\frac {3}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{1}},{\frac {1}{4}},{\frac {4}{3}},{\frac {3}{5}},{\frac {5}{2}},{\frac {2}{5}},{\frac {5}{3}},{\frac {3}{4}},\dots }$

определяет взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством положительных рациональных чисел.

Данная последовательность может быть задана рекуррентным соотношением^[4]

${\displaystyle q_{1}=1;}$

${\displaystyle q_{i+1}={\frac {1}{\lfloor q_{i}\rfloor +1-\{q_{i}\}}}={\frac {1}{2\lfloor q_{i}\rfloor -q_{i}+1}},\quad i=1,2,\dots ,}$

где ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ и ${\displaystyle \{x\}}$ обозначают соответственно целую и дробную части числа ${\displaystyle x}$.

В последовательности Калкина — Уилфа знаменатель каждой дроби равен числителю следующей.

Функция fusc

В 1976 году Э. Дейкстра определил на множестве натуральных чисел целочисленную функцию fusc(n) следующими рекуррентными соотношениями^[5]:

${\displaystyle \operatorname {fusc} (1)=1}$;

${\displaystyle \operatorname {fusc} (2n)=\operatorname {fusc} (n)}$;

${\displaystyle \operatorname {fusc} (2n+1)=\operatorname {fusc} (n)+\operatorname {fusc} (n+1)}$.

Последовательность значений ${\displaystyle \operatorname {fusc} (n),n=1,2,3,\dots }$ совпадает с последовательностью числителей дробей в последовательности Калкина — Уилфа, то есть последовательностью

1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, …

Таким образом (поскольку знаменатель каждой дроби в последовательности Калкина — Уилфа равен числителю следующей), ${\displaystyle n}$-й член последовательности Калкина — Уилфа равен ${\displaystyle \operatorname {fusc} (n)/\operatorname {fusc} (n+1)}$, а соответствие

${\displaystyle n\mapsto {\frac {\operatorname {fusc} (n)}{\operatorname {fusc} (n+1)}},\quad n=1,2,3,\dots }$

является взаимно однозначным соответствием между множеством натуральных чисел и множеством положительных рациональных чисел.

Функция ${\displaystyle \operatorname {fusc} }$ может быть, помимо указанных выше рекуррентных соотношений, определена следующим образом.

• Значение ${\displaystyle \operatorname {fusc} (n+1),n\geqslant 0}$ равно количеству гипердвоичных (англ. hyperbinary) представлений числа ${\displaystyle n}$, то есть представлений в виде суммы неотрицательных степеней двойки, где каждая степень ${\displaystyle 2^{k}}$ встречается не более двух раз^[6]. Например, число 6 представляется тремя такими способами:

6 = 4 + 2 = 4 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 + 1, поэтому ${\displaystyle \operatorname {fusc} (6+1)=3}$.

• Значение ${\displaystyle \operatorname {fusc} (n+1),n\geqslant 0}$ равно числу всех нечётных биномиальных коэффициентов вида ${\displaystyle {\binom {n-r}{r}}}$, где ${\displaystyle 0\leqslant 2r<n}$^[7].

В оригинальной статье Калкина и Уилфа функция ${\displaystyle \operatorname {fusc} }$ не упоминается, но рассматривается целочисленная функция ${\displaystyle b(n)}$, определённая для ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$, равная количеству гипердвоичных представлений числа ${\displaystyle n}$, и доказывается, что соответствие

${\displaystyle n\mapsto {\frac {b(n)}{b(n+1)}},\quad n=0,1,2,\dots }$

является взаимно однозначным соответствием между множеством неотрицательных целых чисел и множеством рациональных чисел. Таким образом, для ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ имеют место соотношения

${\displaystyle b(n)=\operatorname {fusc} (n+1),}$

${\displaystyle b(2n+1)=b(n),}$

${\displaystyle b(2n+2)=b(n)+b(n+1).}$

Дерево Кеплера и Saltus Gerberti

«Гармония мира» И. Кеплера (1619), книга III (фрагмент)

См. также

• Дерево Штерна — Броко

Примечания

1. См. статью Calkin, Wilf (2000) в списке литературы.
2. То есть явного задания взаимно однозначного соответствия между множеством натуральных чисел и множества (положительных) рациональных чисел. Стандартные доказательства счётности множества рациональных чисел обычно не используют явное задание указанного соответствия.
3. В данном случае обход «в ширину» соответствует последовательному обходу каждого уровня (начиная с верхнего) дерева Калкина — Уилфа слева направо (см. первую иллюстрацию).
4. Найдено Моше Ньюменом (Moshe Newman); см. книгу Айгнера и Циглера в списке литературы, с. 108.
5. Документ EWD 570: An exercise for Dr. R. M. Burstall Архивная копия от 15 августа 2021 на Wayback Machine; воспроизведен в книге Dijkstra (1982) (см. список литературы), pp. 215—216.
6. При этом считается, что число 0 обладает единственным («пустым») гипердвоичным представлением 0 = 0, поэтому ${\displaystyle \operatorname {fusc} (0+1)=1}$.
7. См. Carlitz, L. A problem in partitions related to the Stirling numbers // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1964. — Vol. 70, № 2. — P. 275—278. Архивировано 21 января 2022 года. В этой статье определяется функция ${\displaystyle \theta _{0}(n)}$, которая оказывается связанной с функцией fusc соотношением ${\displaystyle \theta _{0}(n)=\operatorname {fusc} (n+1)}$.

Литература

• Calkin, N., Wilf H. S. Recounting the Rationals // The American Mathematical Monthly. — 2000. — Vol. 107, № 4. — P. 360—363. (JSTOR 2589182)
• Айгнер М., Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней (пер. с англ.). — М.: Мир, 2006. — С. 105—109. — 256 с. — ISBN 5-03-003690-3. (NB: в данном переводе фамилия Wilf транскрибируется как «Вилф».)
• Dijkstra, E. W. Selected Writings on Computing: A Personal Perspective. — Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0-387-90652-5. (См. документы EWD 570 и EWD 578, воспроизведенные в этой книге.)
• Stern M. Über eine zahlentheoretische Funktion // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1858. — Т. 55. — С. 193—220.
• Щетников А. И. Алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отношения равенства и идеальные числа Платона // ΣΧΟΛΗ. — 2008. — Т. 2. — С. 55—74. — ISSN 1995-4328.