Гиперболические числа

О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа

Гиперболические числа, или двойны́е чи́сла, паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па, контркомпле́ксные чи́сла^[1] — гиперкомплексные числа вида «a + j · b», где a и b — вещественные числа и ${\displaystyle j^{2}=1,}$ причём j ≠ ±1.

Определение

Алгебраическое определение

Любое гиперболическое число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел ${\displaystyle (x,y).}$ Сложение и умножение определяются по правилам:

${\displaystyle (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y'),}$

${\displaystyle (x,y)\cdot (x',y')=(xx'+yy',xy'+yx').}$

Числа вида ${\displaystyle (a,0)}$ отождествляются с вещественными числами, а ${\displaystyle j=(0,1).}$ Тогда соответствующие тождества принимают вид:

${\displaystyle (x+jy)+(x'+jy')=(x+x')+j(y+y'),}$

${\displaystyle (x+jy)\cdot (x'+jy')=(xx'+yy')+j(xy'+yx').}$

Матричное представление

Гиперболические числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению гиперболических чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

${\displaystyle j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle x+jy={\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.}$

Арифметические операции

• Сложение:

  ${\displaystyle (a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j.}$

• Вычитание:

  ${\displaystyle (a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j.}$

• Умножение:

  ${\displaystyle (a+bj)\cdot (c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j.}$

• Деление на число, не являющееся делителем нуля:

  ${\displaystyle {\frac {a+bj}{c+dj}}={\frac {ac-bd}{c^{2}-d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}-d^{2}}}j.}$

Свойства

${\displaystyle \mathrm {e} ^{jx}=\operatorname {ch} x+j\operatorname {sh} x,}$ где sh и ch — гиперболические синус и косинус.

${\displaystyle \operatorname {sh} jx=j\operatorname {sh} x}$

${\displaystyle \operatorname {ch} jx=\operatorname {ch} x}$

Гиперболические числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Алгебра гиперболических чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы z и w, что zw = 0) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид ${\displaystyle a\cdot (1\pm j).}$

Если взять ${\displaystyle \alpha =(1+j)/2}$ и ${\displaystyle \beta =(1-j)/2,}$ то

${\displaystyle \alpha \beta =0,}$ ${\displaystyle \alpha ^{2}=\alpha }$ и ${\displaystyle \beta ^{2}=\beta .}$

Любое гиперболическое число может быть представлено как сумма ${\displaystyle \alpha x+\beta y,}$ где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно.

Таким образом, алгебра гиперболических чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Применение

Гиперболические числа иногда применяются в релятивистской кинематике.

Примечания

1. С. А. Жилина. Графы отношений алгебры контрседенионов. Записки научных семинаров ПОМИ, том 482, с. 87—113.

Литература

на русском языке

• Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии (рус.). — М., 1963. — 192 с.

на других языках

• Bencivenga, Uldrico (1946) «Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo», Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli, Ser (3) v.2 No7. MR: 0021123.
• Walter Benz (1973) Vorlesungen uber Geometrie der Algebren, Springer
• N. A. Borota, E. Flores, and T. J. Osler (2000) «Spacetime numbers the easy way», Mathematics and Computer Education 34: 159—168.
• N. A. Borota and T. J. Osler (2002) «Functions of a spacetime variable», Mathematics and Computer Education 36: 231—239.
• K. Carmody, (1988) «Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions», Appl. Math. Comput. 28:47-72.
• K. Carmody, (1997) «Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions — further results», Appl. Math. Comput. 84:27-48.
• William Kingdon Clifford (1882) Mathematical Works, A. W. Tucker editor, page 392, «Further Notes on Biquaternions»
• V.Cruceanu, P. Fortuny & P.M. Gadea (1996) A Survey on Paracomplex Geometry, Rocky Mountain Journal of Mathematics 26(1): 83-115, link from Project Euclid.
• De Boer, R. (1987) «An also known as list for perplex numbers», American Journal of Physics 55(4):296.
• Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) Geometry of Generalized Complex Numbers, Mathematics Magazine 77(2):118-29.
• F. Reese Harvey. Spinors and calibrations. Academic Press, San Diego. 1990. ISBN 0-12-329650-1. Contains a description of normed algebras in indefinite signature, including the Lorentz numbers.
• Hazewinkle, M. (1994) «Double and dual numbers», Encyclopaedia of Mathematics, Soviet/AMS/Kluwer, Dordrect.
• Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras, pp 66, 157, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 Шаблон:Mr
• C. Musès, «Applied hypernumbers: Computational concepts», Appl. Math. Comput. 3 (1977) 211—226.
• C. Musès, «Hypernumbers II—Further concepts and computational applications», Appl. Math. Comput. 4 (1978) 45-66.
• Olariu, Silviu (2002) Complex Numbers in N Dimensions, Chapter 1: Hyperbolic Complex Numbers in Two Dimensions, pages 1-16, North-Holland Mathematics Studies #190, Elsevier ISBN 0-444-51123-7.
• Poodiack, Robert D. & Kevin J. LeClair (2009) «Fundamental theorems of algebra for the perplexes», The College Mathematics Journal 40(5):322-35.
• J. Rooney. Generalised Complex Numbers in Mechanics // Advances on Theory and Practice of Robots and Manipulators: Proceedings of Romansy 2014 XX CISM-IFToMM Symposium on Theory and Practice of Robots and Manipulators / Marco Ceccarelli and Victor A. Glazunov. — Springer, 2014. — Vol. 22. — P. 55–62. — ISBN 978-3-319-07058-2. — doi:10.1007/978-3-319-07058-2_7.