Высота многочлена

Высота и длина многочлена P с комплексными коэффициентами — это величины, обозначающие «размер» многочлена.

Также эти термины используются по отношению к самим алгебраическим числам: высота и длина алгебраического числа — это высота и длина его минимального многочлена.

Определение

Для многочлена P степени n, заданного формулой

${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

высота H(P) — это максимальная (по модулю) величина его коэффициентов:

${\displaystyle H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|,}$

а длина L(P) — это сумма модулей величин коэффициентов:

${\displaystyle L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.\,}$

Связь с мерой Малера

Мера Малера M(P) многочлена P также является мерой размера многочлена P. Три функции H(P), L(P) и M(P) связаны неравенствами

${\displaystyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1}};}$

${\displaystyle L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);}$

${\displaystyle H(p)\leq L(p)\leq nH(p)}$,

где ${\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}}$ — биномиальный коэффициент.

Примечания

Литература

• Peter Borwein. . — Springer-Verlag, 2002. — С. 2,3,142,148. — (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9.
• K. Mahler. On two extremum properties of polynomials // Illinois J. Math.. — 1963. — Т. 7. — С. 681–701.
• Andrzej Schinzel. Polynomials with special regard to reducibility. — Cambridge: Cambridge University Press, 2000. — Т. 77. — С. 212. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-521-66225-7.

Ссылки

• Polynomial height at Mathworld