Внешность (топология)

Вне́шность в общей топологии — внутренность дополнения к заданному множеству^[1]. Внешняя точка заданного множества — точка внешности.

Для множества ${\displaystyle A}$ в топологическом пространстве ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ точка ${\displaystyle x\in X}$ является внешней по отношению к ${\displaystyle A}$, если существует её окрестность ${\displaystyle U_{x}\in {\mathcal {T}}}$, не пересекающаяся с ${\displaystyle A}$, то есть ${\displaystyle U\cap A=\varnothing }$. Используемые обозначения для внешности множества ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle \operatorname {ext} A}$, ${\displaystyle \operatorname {Ext} A}$, ${\displaystyle A^{\mathrm {e} }}$.

Например, для интервала ${\displaystyle (a,b)}$ на вещественной прямой со стандартной топологией его внешность:

${\displaystyle \operatorname {ext} (a,b)=(-\infty ,a)\cup (b,\infty )}$.

Внешность (будучи внутренностью) всегда открыта. Внешность внешности заданного множества — его внутренность:

${\displaystyle \operatorname {ext} \operatorname {ext} A=\operatorname {int} A}$,

внешность внутренности данного множества совпадает с его внешностью:

${\displaystyle \operatorname {ext} \operatorname {int} A=\operatorname {ext} A}$.

Для всякого множества ${\displaystyle A}$ объединение его внутренности, границы и внешности раздельно (состоит из непересекающихся компонент) и даёт всё топологическое пространство:

${\displaystyle \operatorname {int} A\uplus \partial A\uplus \operatorname {ext} A=X}$,

границу множества можно выразить как дополнение к раздельному объединению его внутренности со внешностью:

${\displaystyle \partial A=X\setminus (\operatorname {int} A\uplus \operatorname {ext} A)}$.

Примечания

1. Бурбаки, 1968, с. 25.

Литература

• Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968.
• Энгелькинг Р.^[пол.]. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.