Башич дебютировал за сборную Боснии и Герцеговины в отборочных раундах Кубка Дэвиса в мае 2007 года. В июле 2008 года он дебютировал АТП-туре, сыграв в парном разряде турнира в Умаге. Первый титул на турнирах серии «фьючерс» Башич выиграл в 2010 году. Дебютный турнир из серии «челленджер» он выиграл в мае 2013 года на родине в парном разряде.
В июне 2013 года Башичу через квалификацию удалось попасть на турнир АТП в Халле, где в первом раунде (240-й в мире на тот момент) босниец сумел обыграл № 22 в рейтинге Ежи Яновича. В июле 2015 года в Реканати Башич выиграл первый «челленджер» в одиночном разряде. В январе 2016 года он впервые через квалификацию пробился в основную сетку турнира серии Большого шлема и сыграл на Открытом чемпионате Австралии. Башич смог пройти во второй раунд, в котором проиграл № 6 в мире Томашу Бердыху. Он стал вторым игроком, представляющим Боснию и Герцеговину, после соотечественника Дамира Джумхура, который вышел в основную сетку Большого шлема. Летом того же года он получил приглашение выступить Олимпийских играх в Рио-де-Жанейро. Далеко пройти ему не удалось — в первом же раунде он проиграл Хуану Монако.
В марте 2017 года Башич победил на «челленджере» в Гвадалахаре. В октябре на турнире АТП в Москве Мирзе удалось впервые выйти в полуфинал в Мировом туре, начав свои выступления с квалификации. Сезон 2018 года он начал с выхода в четвертьфинал турнира в Дохе. В начале февраля 2018 года Мирза сумел одержать победу в своём первом большом финале, на турнире АТР 250 в Софии, на который он попал через квалификационный отбор. В полуфинале он сумел выбить с турнира первую ракетку соревнований и № 15 в мире Стэна Вавринку со счётом 7-6(6), 6-4. Соперником по решающему матчу был Мариус Копил из Румынии, которого Мирза обыграл в трёх сетах 7-6(6), 6-7(4), 6-4[1]. Выступление в Софии позволило Башичу войти в топ-100 мирового рейтинга, а 19 февраля подняться на 74-ю строчку. В октябре 2018 года босниец вышел в четвертьфинал турнира в Москве.
.jpg)
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
