Барометрическая формула

График зависимости давления в земной атмосфере от высоты

Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле силы тяжести в стационарных условиях.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуру ${\displaystyle T}$ и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения ${\displaystyle g}$ одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

${\displaystyle p=p_{0}\exp \left[-Mg{\frac {h-h_{0}}{RT}}\right],}$

где ${\displaystyle p}$ — давление газа в слое, расположенном на высоте ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle p_{0}}$ — давление на нулевом уровне (${\displaystyle h=h_{0}}$), ${\displaystyle M}$ — молярная масса газа, ${\displaystyle R}$ — универсальная газовая постоянная, ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул ${\displaystyle n}$ (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

${\displaystyle n=n_{0}\exp \left[-mg{\frac {h-h_{0}}{kT}}\right],}$

где ${\displaystyle m}$ — масса молекулы газа, ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана.

Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле (см. Статистика Максвелла — Больцмана). При этом должны выполняться три условия: стационарность, постоянство температуры газа с высотой и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физик Ж. Перрен в 1908 году применил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина ${\displaystyle mg{\frac {h-h_{0}}{kT}}}$, определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной ${\displaystyle kT}$. Чем выше температура ${\displaystyle T}$, тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести ${\displaystyle mg}$ (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести ${\displaystyle mg}$ может изменяться за счёт двух величин: ускорения свободного падения ${\displaystyle g}$ и массы частиц ${\displaystyle m}$.

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура меняется с высотой и во времени; ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды.

Барометрическая формула лежит в основе барометрического нивелирования — метода определения разности высот ${\displaystyle \Delta h}$ между двумя точками по измеряемому в этих точках давлению (${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$). Поскольку атмосферное давление зависит от погоды, интервал времени между измерениями должен быть возможно меньшим, а пункты измерения располагаться не слишком далеко друг от друга. Барометрическая формула записывается в этом случае в виде:

${\displaystyle \Delta h=18400(1+at)\lg(p_{1}/p_{2}),}$ (в м)

где ${\displaystyle t}$ — средняя температура (по шкале Цельсия) слоя воздуха между точками измерения, ${\displaystyle a}$ — температурный коэффициент объёмного расширения воздуха (0,003665 при 0 °С). Погрешность при расчётах по этой формуле не превышает 0,1—0,5 % от измеряемой высоты. Более точна формула Лапласа, учитывающая влияние влажности воздуха и изменение ускорения свободного падения.

См. также

• Барометрическая ступень

Литература

• Хргиан А. Х. Физика атмосферы. — Л.: Гидрометеоиздат. — 1969. — 645 с.