Родился в селе Христиановское Горской АССР (ныне город Дигора в Северной Осетии) в семье крестьянина. Осетин. Окончил семь классов Дигорской средней школы № 2. Работал в колхозе «Партизан».
2 ноября 1943 года в ходе Керченско-Эльтигенской десантной операции в числе первых в подразделении высадился на Керченском полуострове. При подходе к высоте 63,0 продвижение десантников было остановлено шквальным пулемётным огнём. Гвардии сержант Абаев ползком пробрался в тыл противника и уничтожил пулемётчиков, после чего открыл огонь из трофейного пулемёта по врагу, чем посеял панику в стане неприятеля и способствовал захвату высоты. 3 ноября 1943 года командир отделения 6-го гвардейского стрелкового полка комсомолец гвардии сержант А. М. Абаев в бою за расширение плацдарма в районе селения Маяк (ныне в черте города Керчь) обойдя отходящее подразделение противника с фланга, пулемётным огнём отрезал ему пути отступления. Лично уничтожил 7 вражеских солдат и 2 взял в плен. В бою за удержание высоты 175,0 успешно отражал контратаки превосходящих сил немцев. В критический момент поднял бойцов врукопашную и опрокинул противника. Всего за два дня боёв гвардии сержант Абаев уничтожил 32 солдат неприятеля, в том числе 9 — в рукопашной схватке за высоту 175,0.
В 1945 году А. М. Абаев демобилизовался. В 1947 году окончил Орджоникидзевский железнодорожный техникум. Жил и работал в городе Дигора. Член КПСС с 1970 года. Умер 13 мая 1982 года.
Память
В городе Дигора Республики Северная Осетия — Алания установлен бюст Героя, его имя носит городская средняя школа № 3, на здании школы установлена мемориальная доска. Ещё одна памятная доска установлена на доме, где проживал А. М. Абаев. Одной из улиц города присвоено его имя.
Аба́ев Ахсарбек Магометович // Герои Советского Союза: Краткий биографический словарь / Пред. ред. коллегии И. Н. Шкадов. — М.: Воениздат, 1987. — Т. 1 /Абаев — Любичев/. — С. 15. — 911 с. — 100 000 экз. — ISBN отс., Рег. № в РКП 87-95382.
Шёл парнишке в ту пору…: герои-комсомольцы в боях за Советскую Украину в годы Великой Отечественной войны 1941–1945 гг. / авт.-сост. В. Н. Немятый и др. — К.: Молодь, 1985. — С. 3. — 367 с.
