Teorema lui Heine

Teorema lui Heine, numită și teorema Heine-Cantor, face parte din domeniul analizei matematice.

Nu trebuie confundată cu teorema lui Cantor.

Enunț

Fie X, Y două spații metrice, iar X să fie și compact. Atunci orice funcție continuă

f : X → Y

este și uniform-continuă.

În cazul particular al funcțiilor numerice, dacă

f   :   [a , b]   →   ${\displaystyle \mathbb {R} }$

este continuă în orice punct x al intervalului [a, b] atunci:

${\displaystyle \forall x\in [a,b],\;\forall \epsilon >0,\exists \alpha _{x\epsilon }>0}$

astfel încât

${\displaystyle \forall x'\in [a,b],\;|x-x'|<\alpha _{x\epsilon }\;\Rightarrow \;|f(x)-f(x')|<\epsilon }$

Deoarece ${\displaystyle \alpha }$ poate fi ales independent de x , putem inversa cei doi cuantificatori:

${\displaystyle \forall x\in [a,b],\;\exists \alpha _{x}}$

devine

${\displaystyle \exists \alpha ,\;\forall x\in [a,b]}$

Astfel, proprietatea de uniform-continuitate se exprimă:

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\;\exists \alpha _{\epsilon }>0\;/\;\forall x\in [a,b],\;\forall x'\in [a,b],\;|x-x'|<\alpha _{\epsilon }\;\;\Rightarrow \;\;|f(x)-f(x')|<\epsilon .}$

Demonstrație

Pentru spațiile metrice X, Y definim distanțele d, respectiv d'.

Trebuie să arătăm că:

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\;\exists \alpha >0}$

astfel încât:

${\displaystyle \forall (a,b)\in X,\;d(a,b)<\alpha \;\Rightarrow \;d'(f(a),f(b))<\epsilon }$ .

Prin reducere la absurd, presupunem că f este continuă pe X, dar nu și uniform-continuă. Atunci există ${\displaystyle \epsilon >0}$ astfel încât pentru orice ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ={\frac {1}{n}}}$

putem găsi două puncte ${\displaystyle a_{n}}$ și ${\displaystyle b_{n}}$ în X cu:

${\displaystyle d(a_{n},b_{n})<{\frac {1}{n}}}$ și ${\displaystyle d'(f(a_{n}),f(b_{n}))>\epsilon \,}$

Șirul ${\displaystyle a_{n}}$ are valori în spațiul compact X, deci poate admite un subșir convergent pe care îl notăm

${\displaystyle \phi \,}$

iar limita sa ${\displaystyle a\,}$ .

Deoarece

${\displaystyle d(a_{\phi (n)},b_{\phi (n)})<{\frac {1}{\phi (n)}}}$

avem

${\displaystyle (b_{\phi (n)})}$ convergent, cu limita ${\displaystyle a\,}$

Așadar, dacă n tinde către ${\displaystyle \scriptstyle +\infty }$

și deoarece f este continuă:

${\displaystyle d'(f(a),f(b))\geq \epsilon \,}$ .

Obținem o contradicție. Deci f este uniform-continuă pe X.

Note

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
• Popa, C. - Introducere în analiza matematică, Editura Facla, 1976

Vezi și

• Georg Cantor

Legături externe

• Teorema Lui Heine la PlanetMath
• Demonstrația teoremei