Teorema Gauss–Bonnet

Teorema Gauss–Bonnet, sau formula Gauss–Bonnet, este o teoremă importantă din domeniul suprafețelor, care face evidentă legătura dintre geometrie și topologie.

Forma locală

Fie (U, h) o parametrizare semigeodezică, cu U homeomorfă cu un disc plan deschis, compatibilă cu orientarea suprafeței orientate S. Fie ${\displaystyle R\subset h(U)\!}$ o regiune simplă și ${\displaystyle \gamma :[0,l]\rightarrow S\!}$ parametrizată canonic, pozitiv orientată astfel încât ${\displaystyle \partial R=Im\gamma .\!}$

Fie ${\displaystyle \gamma (s_{i})\!}$ vârfurile lui ${\displaystyle \gamma ,\theta _{i}\!}$ unghiurile exterioare corespunzătoare, ${\displaystyle i={\overline {0,k+1}}.\!}$

Atunci are loc formula:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\int _{s_{i}}^{s_{i+1}}k_{g}(s)+\int \int _{R}K\;ds+\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=2\pi \!}$

unde ${\displaystyle k_{g}\!}$ este curbura geodezică a arcelor diferențiale ale lui ${\displaystyle \gamma ,\!}$ K este curbura gaussiană și ${\displaystyle d\sigma \!}$ este elementul de suprafață.

Demonstrație

Fie ${\displaystyle X=\gamma '(s)\!}$ (pe porțiunile diferențiale ale curbei). Avem:

${\displaystyle {\bigg [}{\frac {\nabla X}{d{\mathit {s}}}}{\bigg ]}={\bigg [}{\frac {\nabla \gamma '(s)}{d{\mathit {s}}}}{\bigg ]}=k_{g}(s).\!}$

Utilizăm următoarele leme:

Lema 1

${\displaystyle {\bigg [}{\frac {\nabla Y}{dt}}{\bigg ]}-{\bigg [}{\frac {\nabla X}{dt}}{\bigg ]}={\frac {d\varphi }{dt}}\!}$

Lema 2

Fie (U, h) o parametrizare ortogonală, X un câmp unitar pe ${\displaystyle \gamma \!}$ și ${\displaystyle \varphi \!}$ unghiul dintre ${\displaystyle h_{1}\!}$ și X. Atunci:

${\displaystyle {\bigg [}{\frac {\nabla X}{d{\mathit {t}}}}{\bigg ]}={\frac {1}{2{\sqrt {g_{11}g_{22}}}}}{\bigg \{}{\frac {\partial g_{22}}{\partial u^{1}}}{\frac {du^{2}}{dt}}-{\frac {\partial g_{11}}{\partial u^{2}}}{\frac {du^{1}}{dt}}{\bigg \}}+{\frac {d\varphi }{dt}}\!}$

Demonstrația lemei.

Normăm câmpurile ${\displaystyle h_{1}\!}$ și ${\displaystyle h_{2}\!}$:

${\displaystyle e_{1}={\frac {h_{1}}{\sqrt {g_{11}}}},\;e_{2}={\frac {h_{1}}{\sqrt {g_{22}}}}.\!}$

Atunci ${\displaystyle e_{1}\times e_{2}=N\!}$ și, conform lemei 1,

${\displaystyle {\bigg [}{\frac {\nabla X}{dt}}{\bigg ]}={\bigg [}{\frac {\nabla e_{1}}{dt}}{\bigg ]}+{\frac {d\varphi }{dt}}\!}$

Legături externe

• en Wolfram MathWorld
• en Maths.Manchester.ac.uk^{[nefuncțională]}