Parte întreagă și parte fracționară

Se definește partea întreagă și partea fracționară a unui număr real astfel: Fie x un număr real.

1. Se numește parte întreagă a lui x cel mai apropiat întreg mai mic sau egal cu x.
2. Se numește parte fracționară a lui x diferența dintre număr și partea lui întreagă.

Definiția este sugerată de axioma lui Arhimede: Pentru orice număr real x, există un număr întreg n, unic, astfel încât n ≤ x < n + 1.

Gauss a introdus notatia ${\displaystyle \left[x\right]}$^[1].

Notații

• ${\displaystyle [x]}$ - partea întreagă a numărului real x.
• ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}}$ - partea fracționară a numărului real x.

Exemple

• ${\displaystyle \left[35,67\right]=35}$
• ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}35,67\end{Bmatrix}}=0,67}$

• ${\displaystyle \left[-35,67\right]=-36}$
• ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}-35,67\end{Bmatrix}}=0,33}$

Proprietăți imediate

• Partea întreagă a oricărui număr real este un număr întreg, adică ${\displaystyle \left[x\right]\in \mathbb {Z} }$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left[x\right]={\begin{cases}{\mbox{...}}\\-2,&{\mbox{pentru }}x\in \left[-2,-1\right)\\-1,&{\mbox{pentru }}x\in \left[-1,0\right)\\0,&{\mbox{pentru }}x\in \left[0,1\right)\\1,&{\mbox{pentru }}x\in \left[1,2\right)\\2,&{\mbox{pentru }}x\in \left[2,3\right)\\{\mbox{...}}\end{cases}}}$

• Orice număr întreg mai mic sau egal cu x este mai mic sau egal decât partea întreagă a lui x: ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,n\leq x\Rightarrow \;n\leq [x]}$

• Partea întreagă a unui număr este egală cu numărul, dacă și numai dacă numărul este întreg, adică ${\displaystyle \left[x\right]=x\Leftrightarrow x\in \mathbb {Z} }$

• Din Axioma lui Arhimede, rezultă inegalitatea părții întregi: Orice număr real este încadrat de doi întregi consecutivi,

adică pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left[x\right]\leq \ x<\left[x\right]+1}$,

de unde rezultă că

${\displaystyle x-1<\left[x\right]\leq \ x}$

• Partea fracționară a unui număr real este un număr pozitiv subunitar sau nul: ${\displaystyle 0\leq {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}<1}$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

• Partea fracționară a unui număr întreg este nulă: ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} \Leftrightarrow {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}=0}$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$

Remarcă: Mulțimea numerelor reale se poate scrie ca reuniunea tuturor intervalelor care au capete numere întregi consecutive:

${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n\in \mathbb {Z} }^{}\left[n,n+1\right)}$

Alte proprietăți

• Propoziția 1: Dacă ${\displaystyle x<y}$, atunci ${\displaystyle \left[x\right]\leq \left[y\right]}$

Demonstrație:

Din ${\displaystyle \left[x\right]\leq \ x\leq \ y}$, cum ${\displaystyle \left[x\right]}$ este un număr întreg mai mic sau egal decât y, rezultă că ${\displaystyle \left[x\right]+\left[y\right]\leq x+y}$, cum membrul stâng este un număr întreg și cel drept un număr real, rezultă ${\displaystyle \left[x\right]\leq \left[y\right]}$

• Propoziția 2: Partea întreagă a sumei a două numere reale este mai mare sau egală cu suma părților întregi ale fiecărui număr: ${\displaystyle \left[x+y\right]\geq \ \left[x\right]+\left[y\right]}$, pentru orice ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

Demonstrație:

Din ${\displaystyle \left[x\right]\leq \ x}$ și ${\displaystyle \left[y\right]\leq \ y}$, rezultă ${\displaystyle \left[x\right]+\left[y\right]\leq \ x+y}$. Cum membrul stâng este un număr întreg și membrul drept este un număr real, rezultă că membrul stâng este mai mic decât partea întreagă a membrului drept: ${\displaystyle \left[x\right]+\left[y\right]\leq \ \left[x+y\right]}$

• Propoziția 3: Orice termen număr întreg al unei sume "se pierde" de sub partea întreagă: ${\displaystyle \left[x+n\right]=\left[x\right]+n}$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ și ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$

Demonstrație:

Fie ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. Se notează ${\displaystyle k=\left[x\right]}$. La inegalitatea părții întregi se adună k în toți membrii: ${\displaystyle \left[x\right]\leq \ x<\left[x\right]+1|+k}$, ceea ce este echivalent cu ${\displaystyle \left[x\right]+k\leq \ x+k<\left[x\right]+k+1}$. Așadar, numărul real ${\displaystyle \left[x\right]+k}$ este situat între doi întregi consecutivi, deci, ${\displaystyle \left[x+n\right]=\left[x\right]+n}$.

• Propoziția 4: Orice termen număr întreg al unei sume "iese" de sub partea fracționară: ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x+n\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}}$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ și ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$

Demonstrație:

Fie ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x+n\end{Bmatrix}}=x+n-\left[x+n\right]=x+n-\left(\left[x\right]+n\right)=x+n-\left[x\right]-n=x-\left[x\right]={\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}}$

• Propoziția 5: Identitatea lui Hermite: ${\displaystyle \left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=\left[2x\right]}$

Demonstrație: Fie ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ cu ${\displaystyle \left[x\right]=n\Leftrightarrow n\leq x<n+1}$

• Dacă x se află în prima jumătate a intervalului, adică: ${\displaystyle n\leq x<n+{\frac {1}{2}}}$ , se obține ${\displaystyle n+{\frac {1}{2}}\leq x+{\frac {1}{2}}<n+1}$, deci ${\displaystyle \left[x+{\frac {1}{2}}\right]=n}$. Așadar, ${\displaystyle \left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=n+n=2n}$ (1).

${\displaystyle n\leq x<{\frac {2n+1}{2}}|\cdot 2\Leftrightarrow 2n\leq 2x<2n+1}$, deci ${\displaystyle \left[2x\right]=2n}$ (2).

Din (1) și (2) rezultă ${\displaystyle \left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=\left[2x\right]}$.

• Dacă x se află în a doua jumătate a intervalului, adica: ${\displaystyle n+{\frac {1}{2}}\leq x<n+1}$, rezultă ${\displaystyle n+1\leq x+1/2<n+{\frac {3}{2}}}$, deci ${\displaystyle \left[x+{\frac {1}{2}}\right]=n+1}$, deci ${\displaystyle \left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=2n+1}$ (3)

${\displaystyle {\frac {2n+1}{2}}\leq x<n+1|\cdot 2\Leftrightarrow 2n+1\leq 2x<2n+2}$, deci ${\displaystyle \left[2x\right]=2n+1}$ (4)

Din (3) și (4) rezultă ${\displaystyle \left[x\right]+\left[x+{\frac {1}{2}}\right]=\left[2x\right]}$.

Funcția parte întreagă

Funcția ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle f(x)=\left[x\right]}$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ se numește funcția parte întreagă. Câteva proprietăți ale acestei funcții:

• Monotonie - monoton crescătoare pe ${\displaystyle \mathbb {R} }$: Dacă ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} ,x_{1}<x_{2}}$, atunci ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})}$.
• Injectivitate - nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
• Surjectivitate - este surjectivă, adică orice număr întreg este partea întreagă a cel puțin unui număr real: ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} }$, astfel încât ${\displaystyle n=f\left(x\right)}$.
• Continuitate: este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este ${\displaystyle \mathbb {R} }$ \ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Derivabilitate: fiind constantă pe porțiuni, are derivata nulă; domeniul de derivabilitate este ${\displaystyle \mathbb {R} }$ \ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Alte proprietăți:

${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$,${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} }$ (din Propoziția 2)

${\displaystyle f(x+n)=f(x)+f(n),\forall x\in \mathbb {R} }$,${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }$ (din Propoziția 3)

Funcția parte fracționară

Funcția ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow [0,1)}$, ${\displaystyle f(x)={\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}}$, pentru orice ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ se numește funcția parte fracționară. Câteva proprietăți ale acestei funcții:

• Monotonie - este strict crescătoare pe orice interval de forma ${\displaystyle [n,n+1)}$, unde ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$: Dacă ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [n,n+1),x_{1}<x_{2}}$, atunci ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$.
• Injectivitate - nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).
• Surjectivitate - este surjectivă, adică orice număr subunitar pozitiv sau nul este partea fracționară a cel puțin unui număr real: ${\displaystyle \forall y\in [0,1)}$, ${\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} }$, astfel încât ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$.
• Continuitate: este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este ${\displaystyle \mathbb {R} }$ \ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Derivabilitate: fiind egală cu diferența dintre ${\displaystyle x}$ și un n umăr întreg, are derivata egală cu 1; domeniul de derivabilitate este ${\displaystyle \mathbb {R} }$ \ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Alte proprietăți:

${\displaystyle f(x+n)=f(x),\forall x\in \mathbb {R} }$,${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }$ (din Propoziția 4)

Note

1. Earliest Uses of Function Symbols: Until recently [x] has been the standard symbol for the greatest integer function. According to Grinstein (1970), "The use of the bracket notation, which has led some authors to term this the bracket function, stems back to the work of Gauss (1808) in number theory. The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E(x)." The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke Volume: Bd. 2 p. 5. (aufgerufen am 25. Juli 2009)

Bibliografie

• "Matematica - TC + CD" - I.V. Maftei, A.V. Mihai, M.A. Nicolae, Cătălin-Petru Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN și Ed. NEDION - București, 2004
• "Matematica - TC + CD" - D. Savulescu, M. Chirciu, Ș. Alexe, N. Dragomir, T. Deaconu, A.R. Petrescu - Ed. Corint, București, 2008