Mulțime compactă

Mulțimea compactă este o noțiune folosită în analiză matematică și în topologie care desemnează acele submulțimi ale mulțimii numerelor reale care sunt mărginite și închise.

Formulări echivalente

O submulțime a mulțimii numerelor reale ${\displaystyle \mathbb {R} }$ este compactă dacă este satisfăcută una din condițiile (echivalente:)

• Orice șir de elemente ale submulțimii admite un subșir convergent, a cărui limită aparține mulțimii (criteriul cu șiruri).

• Orice acoperire deschisă admite o subacoperire finită (criteriul acoperirii).

Generalizare

Noțiunea se poate generaliza pe ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sau pentru spații vectoriale infinit-dimensionale.

Exemple

Fie   ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$   cu ${\displaystyle a<b\,}$.

• Intervalulul închis   ${\displaystyle [a,b]\,}$   este compact. Orice șir convergent cu termeni din acest interval are limita situată pe ${\displaystyle [a,b]\,}$.

• Intervalele semideschise   ${\displaystyle (a,b],\;[a,b)}$   și intervalul deschis ${\displaystyle (a,b)\,}$ nu sunt compacte deoarece nu sunt închise. Există șiruri care converg la fiecare din extremitățile intervalelor.

• Mulțimea numerelor reale   ${\displaystyle \mathbb {R} }$   nu este compactă, deoarece nu este nici închisă, nici mărginită. Există șiruri de numere reale cu orice subșir crescător nemărginit (De exemplu mulțimea numerelor naturale   ${\displaystyle \mathbb {N} }$).

Vezi și

• Mulțime deschisă
• Spațiu topologic
• Spațiu compact

Legături externe

• en Mulțimi compacte la MathWorld
• en Același subiect la Mathreference.com
• en Idem la PlanetMath^{[nefuncțională]}