Distribuția Gauss

Funcția densitate de probabilitate pentru distribuția normală; linia verde este distribuția normală standard

Distribuția normală este o distribuție de probabilitate continuă. Este numită de asemenea distribuția Gauss deoarece a fost descoperită de către Carl Friedrich Gauss.^[1]

Distribuția normală standard (cunoscută,de asemenea, sub numele de distribuție Z) este distribuția normală cu media zero și variația 1 (curbele verzi în imaginea din dreapta). Acesta este adesea numită curba lui Gauss, deoarece graficul densității de probabilitate arată ca un clopot.

Se notează cu: N(μ,σ²), unde μ și σ sunt parametrii din funcția de distribuție care va fi descrisă în continuare.

Proprietăți

Bibliografie.^[2][3][4][5]

Densitatea de repartiție

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

Media

${\displaystyle M(X)\,}$ = ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x.f(x)\,dx}$ = ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx}$ = ${\displaystyle \mu }$

Dispersia pentru o variabilă aleatoare continuă

${\displaystyle \sigma ^{2}(X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-M(X))^{2}.f(x)\,dx}$=${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(x-M(X))^{2}.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx}$=${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx}$=${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Entropia informațională

${\displaystyle H[f]=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))\,dx}$ = ${\displaystyle -\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\ln({\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}})\,dx}$ = ${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!}$

Funcția de repartiție cumulativă

Funcția de repartiție cumulativă este funcția

${\displaystyle F(t)}$=${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx}$=${\displaystyle {\frac {1}{\sigma .{\sqrt {2\pi }}}}}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}x.e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx}$

Pentru repartiția N~(0,1), această funcție este numită "funcția lui Laplace", și este dată de

${\displaystyle \phi (t)}$=${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx}$

Pentru o repartiție normală oarecare N(μ,σ²), se verifică prin schimbarea de variabilă x->(x-μ)/σ că

${\displaystyle P(X<x)}$=${\displaystyle \phi ({\frac {x-\mu }{\sigma }})}$

Repartiția variabilei (X-μ)/σ

Pornind de la proprietățile operatorilor de medie și dispersie

• M(X − μ) = M(X)− μ
• D(X − μ) = D(X)
• D(X/σ)=(1/σ²) D(X)

se obține că, dacă o variabilă aleatoare este normal repartizată N(μ,σ²), atunci variabila aleatoare redusă

${\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sigma }}}$

este repartizată N(0,1).

Suma a n variabile independente având repartițiile N(μ_k,σ_k²)

Dacă X_k:N(μ_k,σ_k²), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci suma lor X₁+X₂+...+X_n are repartiția:^[6]

${\displaystyle N(\sum _{k=1}^{n}{\mu }_{k},{\sqrt {(}}\sum _{k=1}^{n}{\sigma }_{k}^{2})).}$

Ca o consecință imediată a acestui rezultat:

Media aritmetică a n variabile independente având repartiția N(μ,σ²)

Dacă X_k:N(μ,σ²), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci media lor aritmetică (X₁+X₂+...+X_n)/n are repartiția:

${\displaystyle N(\mu ,{\frac {\sigma }{{\sqrt {(}}n)}})}$

Teorema limită centrală (Laplace)

Reprezintă una din cele mai puternice și mai utilizate proprietăți ale distribuției Gauss. Teorema este următoarea:

Dacă X_k - sunt variabile aleatoare independente având aceeași medie ${\displaystyle \mu }$ și dispersia ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, atunci limita mediei lor aritmetice (X₁+X₂+...+X_n)/n atunci cand ${\displaystyle n->\infty }$ are proprietatea:

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma /{\sqrt {(}}n)}}({\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}-\mu )->N(0,1)}$

Rezultă că ${\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}}$ se aproximează cu ${\displaystyle N(\mu ,{\frac {\sigma }{n}})}$ pentru ${\displaystyle n->\infty }$

Regula celor 3σ

O variabilă normal repartizată X:N(μ,σ) ia valori semnificative numai în intervalul (μ-3σ,μ+3σ). Într-adevăr, ${\displaystyle P({|X-\mu |>=3\sigma })=1-P({|X-\mu |<3\sigma })=1-\phi (3)=0,0027}$, valoare care în unele situații poate fi neglijată.

Note

1. Kirkwood, Betty R; Sterne, Jonathan AC (2003). Essential Medical Statistics. Blackwell Science Ltd. Mentenanță CS1: Nume multiple: lista autorilor (link)
2. Viorel Petrehuș, Sever-Angel Popescu, Probabilități și statistică, Arhivat în 28 decembrie 2013, la Wayback Machine., Universitatea Tehnică de Construcții din București, 2005
3. „copie arhivă” (PDF). Arhivat din original la 26 iunie 2011. Accesat în 3 august 2013. 
4. Ștefan Balint, Éva Kaslik, Simina Ștefania Mariș, Probabilități (curs), Universitatea de Vest din Timișoara, Arhivat în 15 septembrie 2015, la Wayback Machine.
5. Ariadna Lucia Pletea,Liliana Popa, [math.etti.tuiasi.ro/lpopa/cursTP.pdf/ Teoria probabilităților] (curs, 1999), Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași
6. H. Poincaré-Calcul des probabilités, Gauthiers-Villars,Paris,1912/

Vezi și

• Distribuție de probabilitate
• Distribuția binomială
• Distribuția Rayleigh
• Variabilă aleatoare
• Rugozitate#Filtre

Legături externe

• en Free Area Under the Normal Curve Calculator from Daniel Soper's Free Statistics Calculators website. Computes the cumulative area under the normal curve (i.e., the cumulative probability), given a z-score.
• en Interactive Distribution Modeler (incl. Normal Distribution).
• en GNU Scientific Library – Reference Manual – The Gaussian Distribution
• en Normal Distribution Table
• en Download free two-way normal distribution calculator
• en Download free normal distribution fitting software
• en http://www.pruteanu.ro/704reflec_files/gauss.htm Arhivat în 30 mai 2013, la Wayback Machine.