Compus de două mari icosidodecaedre snub

Compus de două mari icosidodecaedre snub
Descriere
Tip	compus poliedric uniform UC69 - UC70 - UC71
Fețe	184 (160 triunghiuri,           24 pentagrame)
Laturi (muchii)	300
Vârfuri	120
Configurația vârfului	3^4,5/2[1]
Grup de simetrie	Compus: icosaedrică (Ih) Constituenți: icosaedrică chirală (I)
Volum	≈15,348 a^3   (a = latura)
Poliedru dual	compus de două mari hexacontaedre pentagonale
Proprietăți	Constituenți: 2 mari icosidodecaedre snub

În geometrie compusul de două mari icosidodecaedre snub este un compus poliedric uniform format din 2 versiuni chirale ale marelui icosidodecaedru snub. Are simetrie icosaedrică (I_h).^[2] Din cele 160 de fețe triunghiulare, 40 sunt grupate câte două în 20 de hexagrame, iar cele 24 de fețe pentagramice sunt grupate câte două, suprapunându-se.

Are indicele de compus uniform UC₇₀.^[2]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt toate permutările pare cu un număr impar de semne minus, respectiv permutările impare cu un număr impar de semne plus ale^[2]

${\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)}$

unde ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ este secțiunea de aur,

${\displaystyle \xi }$ este prima rădăcină reală (cea negativă) a polinomului ${\displaystyle \xi ^{3}-2\xi +\varphi ^{-1},\,\approx -1,5488772,}$^[3]

${\displaystyle \alpha =\xi -\xi ^{-1}}$ iar

${\displaystyle \beta =-\xi \varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}-(\xi \varphi )^{-1}.}$

Rază circumscrisă

Raza circumscrisă pentru lungimea laturii de 1 unitate este^[4]

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}\approx 0,6450202}$

unde ${\displaystyle x}$ este a doua ca mărime rădăcină reală a polinomului ${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{-2}}$ iar ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ este secțiunea de aur.

Volum

Volumul său, V, este dat de a doua ca mărime rădăcină reală a polinomului de gradul al șaselea în ${\displaystyle x^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&2176782336x^{12}-3195335070720x^{10}[phone]x^{8}+1030526618040000x^{6}\\{}&+6152923794150000x^{4}-182124351550575000x^{2}+187445810737515625\end{aligned}}}$

cu care volumul este

${\displaystyle V\approx 15,34782~a^{3}}$

unde a este lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate).

Note

1. giddasid, bendwavy.org, accesat 2023-10-20
2. ^ en Skilling, John (1976), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79 (03): 447–457, doi:10.1017/S0305004100052440, MR 0397554 
3. en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-22
4. Eric W. Weisstein, Great Snub Icosidodecahedron la MathWorld.

Vezi și

• Lista compușilor poliedrici uniformi

Compuși de poliedre snub

• Compus de două cuburi snub
• Compus de două dodecaedre snub
• Compus de două mari icosidodecaedre snub inversate
• Compus de două mari icosidodecaedre retrosnub
• Compus de două dodecadodecaedre snub
• Compus de două dodecadodecaedre snub inversate
• Compus de două icosidodecadodecaedre snub

Legături externe

• en Polyhedron Category C10: Disnubs Giddasid