Transformação linear

A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.

Em álgebra linear, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e o contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Definição e consequências imediatas

Sejam ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ espaços vetoriais sobre o mesmo corpo ${\displaystyle K.}$

Diz-se que uma função ${\displaystyle T:V\rightarrow {W}}$ é uma transformação linear se, para quaisquer ${\displaystyle u,v\in {V}}$ e ${\displaystyle \alpha \in {K},}$valem as relações:^[1]

• ${\displaystyle T(v+u)=T(v)+T(u);}$
• ${\displaystyle T(\alpha v)=\alpha T(v).}$

Exemplos^[2]

• a função ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle K}$ em ${\displaystyle K}$ definida por ${\displaystyle T(x)=3x;}$
• a função ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle K^{2}}$ em ${\displaystyle K}$ definida por ${\displaystyle T(x,y)=x+y;}$
• a função ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle K^{2}}$ em ${\displaystyle K^{2}}$ definida por ${\displaystyle T(x,y)=(3x+y,2x-2y);}$
• se ${\displaystyle D}$ for o espaço das funções deriváveis de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$, e se ${\displaystyle F}$ for o espaço de todas as funções de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$, então a derivação (isto é, a função de ${\displaystyle D}$ em ${\displaystyle C}$ que envia cada função na sua derivada) é linear.

Em contrapartida, se ${\displaystyle a\in K-\{0\}}$, então a função ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle K}$ em ${\displaystyle K}$ definida por ${\displaystyle T(x)=x+a}$ não é uma transformação linear.

Se ${\displaystyle T}$ for uma função de um espaço vetorial ${\displaystyle V}$ num espaço vetorial ${\displaystyle W,}$ então afirmar que ${\displaystyle T}$ é linear equivale a afirmar que ${\displaystyle T}$ preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ∈ ${\displaystyle V}$ e dois escalares ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$ ∈ ${\displaystyle K:}$

$${\displaystyle T(\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2})=\alpha _{1}T(v_{1})+\alpha _{2}T(v_{2})}$$

Para qualquer aplicação linear ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W}$, tem-se:

• ${\displaystyle T(0)=0,}$ pois ${\displaystyle T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0.}$
• se ${\displaystyle v}$ ∈ ${\displaystyle V,}$ então ${\displaystyle T(-v)=-T(v),}$ pois ${\displaystyle T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0.}$

Função linear

Uma função linear

Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:

• Aditividade:

$${\displaystyle f(x+x')=f(x)+f(x');}$$

• Homogeneidade:

$${\displaystyle f(ax)=af(x).}$$ Em suma:

${\displaystyle f(ax+bx')=af(x)+bf(x')}$

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.

Definição

Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma ${\displaystyle y=ax,}$ em que ${\displaystyle a}$ é um número real.

• ${\displaystyle y}$ é a variável dependente e ${\displaystyle x}$ a variável independente;
• ${\displaystyle a}$ é o coeficiente angular.

Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma ${\displaystyle y=mx+b}$ uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando ${\displaystyle b}$ é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.

Ver artigo principal: Aplicação linear

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.

Sejam ${\displaystyle (V,F,\oplus _{V},\otimes _{V},+,\times ){\mbox{ e }}(W,F,\oplus _{W},\otimes _{W},+,\times )}$ espaços vetoriais. Uma função ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:

• ${\displaystyle \forall x,y\in V\ (f(x\oplus _{V}y)=f(x)\oplus _{W}f(y))}$
• ${\displaystyle \forall a\in F\ \forall v\in V\ (f(a\otimes _{V}v)=a\otimes _{W}f(v))}$

Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:

• ${\displaystyle \forall x,y\in V\ (f(x+y)=f(x)+f(y))}$
• ${\displaystyle \forall a\in F\ \forall v\in V\ (f(a\ v)=a\ f(v))}$

Núcleo

O núcleo de uma transformação linear ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W,}$ denotado por ${\displaystyle \ker(T),}$ é o conjunto ${\displaystyle \{v\in V\,|\,T(v)=0\},}$ em que ${\displaystyle 0}$ é o vetor nulo de ${\displaystyle W.}$

Exemplo: O núcleo da função ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle K^{3}}$ em ${\displaystyle K^{3}}$ definida por ${\displaystyle T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2)}$ é: $${\displaystyle \ker(T)=\left\{(x,y,z)\,|\,x=z/2=-y/4\right\}}$$

O conjunto ${\displaystyle \ker(T)}$ é um subespaço vetorial de V, pois se ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ∈ ${\displaystyle \ker(T)}$ e se ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$ ∈ ${\displaystyle K,}$ então ${\displaystyle T(\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2})=\alpha _{1}T(v_{1})+\alpha _{2}T(v_{2})=0,}$ ou seja, ${\displaystyle \alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}}$ ∈ ${\displaystyle \ker(T).}$

Se uma aplicação linear ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W}$ for injectiva, então ${\displaystyle \ker(T)=\{0\},}$ pois ${\displaystyle T(0)=0}$ e, portanto, pela injectividade de ${\displaystyle T,}$ o único vector ${\displaystyle v}$ ∈ ${\displaystyle V}$ tal que ${\displaystyle T(v)=0}$ é ${\displaystyle 0.}$ Reciprocamente, se ${\displaystyle \ker(T)=\{0\},}$ então ${\displaystyle T}$ é injectiva, pois, dados ${\displaystyle v,w}$ ∈ ${\displaystyle V:}$ $${\displaystyle T(v)=T(w)\Longleftrightarrow T(v)-T(w)=0\Longleftrightarrow T(v-w)=0\Longleftrightarrow v-w\in \ker(T)\Rightarrow v-w=0\Longleftrightarrow v=w}$$

Imagem

Sejam ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ espaços vetoriais sobre um corpo ${\displaystyle K.}$ A imagem de uma transformação linear ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W}$ é o conjunto: $${\displaystyle \operatorname {Im} (T)=\{f(v)\,|\,v\in V\}}$$

Sejam ${\displaystyle w_{1},w_{2}}$ dois elementos da imagem de ${\displaystyle T}$ e sejam ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}\in K.}$ Então, como ${\displaystyle w_{1},w_{2}}$ estão na imagem de ${\displaystyle T,}$ há vectores ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ tais que ${\displaystyle w_{1}=T(v_{1})}$ e que ${\displaystyle w_{2}=T(v_{2}),}$ pelo que: $${\displaystyle \alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2}=\alpha _{1}T(v_{1})+\alpha _{2}T(v_{2})=T(\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2})\in \mathop {\mathrm {Im} } (T)}$$ Logo, ${\displaystyle \operatorname {Im} (T)}$ é um subespaço vetorial de ${\displaystyle W.}$

Dimensão da imagem e do núcleo

Sejam ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ espaços vetoriais sobre um corpo ${\displaystyle K,}$ sendo ${\displaystyle V}$ de dimensão finita, e seja ${\displaystyle T}$ uma transformação linear de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W.}$ Então $${\displaystyle \dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname {Im} (T)).}$$ Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja ${\displaystyle n=\dim(\ker(T))}$ e seja ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},}$ …${\displaystyle ,v_{n}\}}$ uma base de ${\displaystyle \ker(T).}$ Como ${\displaystyle \ker(T)}$ é um subespaço de ${\displaystyle V,}$ pode-se completar essa base até obtermos uma base de ${\displaystyle V.}$ Sejam então ${\displaystyle w_{1},w_{2},}$  … ${\displaystyle ,w_{m}}$ ∈ ${\displaystyle V}$ tais que ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},}$ …${\displaystyle ,v_{n},w_{1},w_{2},}$ …${\displaystyle ,w_{m}\}}$ seja uma base de ${\displaystyle V;}$ em particular, ${\displaystyle \dim(V)=n+m.}$ Vai-se provar que ${\displaystyle \{T(w_{1}),}$ …${\displaystyle ,T(w_{m})\}}$ é uma base de Im${\displaystyle (T),}$ de onde resultará que $${\displaystyle \dim(\operatorname {Im} (T))=m=(m+n)-n=\dim(V)-\dim(\ker(T)).}$$ Se ${\displaystyle w}$ ∈ Im${\displaystyle (T),}$ então ${\displaystyle w=T(v)}$ para algum ${\displaystyle v}$ ∈ ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle v}$ pode ser escrito sob a forma $${\displaystyle v=\alpha _{1}v_{1}+\cdots \alpha _{n}v_{n}+\beta _{1}w_{1}+\cdots +\beta _{m}w_{m},}$$ pelo que $${\displaystyle T(v)=\beta _{1}T(w_{1})+\cdots +\beta _{m}T(w_{m}),}$$ visto que ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}$ ∈ ${\displaystyle \ker(T).}$ Isto prova que ${\displaystyle \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{m})\}}$ gera ${\displaystyle \operatorname {Im} (T).}$ Por outro lado, os vetores ${\displaystyle T(w_{1}),T(w_{2}),\ldots ,T(w_{m})}$ são linearmente independentes, pois se ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}$ ∈ ${\displaystyle K}$ forem tais que $${\displaystyle \alpha _{1}T(w_{1})+\alpha _{2}T(w_{2})+\cdots +\alpha _{m}T(w_{m})=0,}$$ então $${\displaystyle T{\bigl (}\alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2}+\cdots +\alpha _{m}w_{m}{\bigr )}=0\Rightarrow \alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2}+\cdots +\alpha _{m}w_{m}\in \ker(T),}$$ de onde resulta que ${\displaystyle \alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2}+\ldots +\alpha _{m}w_{m}}$ é uma combinação linear dos vetores ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n},}$ o que é só é possível se ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\ldots =\alpha _{m}=0,}$ pois o conjunto ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n},w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m}\}}$ é uma base e, portanto, linearmente independente.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.

Tipos especiais

Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva.

Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.

Se ${\displaystyle T}$ for um endomorfismo de um espaço vetorial ${\displaystyle V}$ de dimensão finita, então são condições^[3] equivalentes:

1. ${\displaystyle T}$ é injetivo;
2. ${\displaystyle T}$ é sobrejetivo;
3. ${\displaystyle T}$ é bijetivo.

É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se ${\displaystyle T}$ for sobrejetivo, então $${\displaystyle \dim(V)=\dim(\operatorname {Im} (T))=\dim(V)-\dim(\ker(T)),}$$ pelo que ${\displaystyle \dim(\ker(T))=0}$ e, portanto, ${\displaystyle \ker(T)=\{0\},}$ pelo que ${\displaystyle T}$ é injetivo. Por outro lado, se ${\displaystyle T}$ for injetivo, então $${\displaystyle 0=\dim(\ker(T))=\dim(V)-\dim(\operatorname {Im} (T)),}$$ pelo que ${\displaystyle \dim(V)=\dim(\operatorname {Im} (T))}$ e, portanto, ${\displaystyle V=\operatorname {Im} (T),}$ ou seja, ${\displaystyle T}$ é sobrejetivo.

Exemplos de matrizes de transformações lineares

Alguns casos especiais de transformações lineares^[4] do espaço R² são bastante elucidativas:

• rotação de 90 graus no sentido anti-horário: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$$
• rotação por ${\displaystyle \theta }$ graus no sentido anti-horário: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\mathrm {sen} \,(\theta )\\\mathrm {sen} \,(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$$
• reflexão em torno do eixo x: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$$
• reflexão em torno do eixo y: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$
• projeção sobre o eixo y: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

Espaço das transformações lineares

Sejam ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ espaços vetoriais sobre o corpo ${\displaystyle K.}$ Seja ${\displaystyle L(V,W)}$ definido como o conjunto de todas transformações lineares de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W.}$ Como funções, para quaisquer operadores ${\displaystyle T}$ e ${\displaystyle U}$ e qualquer escalar ${\displaystyle a,}$ podemos definir ${\displaystyle T+U}$ e ${\displaystyle aT}$ por: $${\displaystyle (T+U)(v)=T(v)+U(v)}$$ $${\displaystyle (aT)(v)=aT(v)}$$

É imediato provar que ${\displaystyle T+U}$ e ${\displaystyle aT}$ também são transformações lineares de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle W,}$ e que ${\displaystyle L(V,W)}$ com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre ${\displaystyle K.}$

Pelo fato de que, dadas bases de ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W,}$ temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão ${\displaystyle n}$ × ${\displaystyle m,}$ concluímos que a dimensão de ${\displaystyle L(V,W)}$ é ${\displaystyle nm}$ (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).

Espaço dos operadores lineares

Um caso particular importante é o espaço ${\displaystyle L(V,V),}$ das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).

Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.

Assim, dado um operador linear ${\displaystyle T,}$ podem-se definir as potências ${\displaystyle T^{2},T^{3},}$ ou, de modo geral, ${\displaystyle T^{n},\forall n\in \mathbb {Z^{+}} .}$ Portanto, se ${\displaystyle p(x)}$ é um polinômio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir ${\displaystyle p(T):}$ $${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}\implies p(T)=a_{0}I_{V}+a_{1}T+\ldots +a_{n}T^{n},}$$ em que ${\displaystyle I_{V}}$ é o operador identidade em ${\displaystyle V.}$

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:

• Se ${\displaystyle p(x)}$ e ${\displaystyle q(x)}$ são polinômios, então ${\displaystyle p(T)+q(T)=(p+q)(T)}$ e ${\displaystyle p(T)q(T)=(pq)(T).}$

Se o espaço ${\displaystyle V}$ tem dimensão finita ${\displaystyle n,}$ então ${\displaystyle L(V,V)}$ também tem dimensão finita ${\displaystyle n^{2}.}$ Portanto, o conjunto de ${\displaystyle n^{2}+1}$ operadores ${\displaystyle \{I_{V},T,\ldots ,T^{n^{2}}\}}$ é linearmente dependente. Logo, existem escalares ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots a_{n^{2}},}$ não todos nulos, tais que ${\displaystyle a_{0}I_{V}+a_{1}T+\ldots +a_{n^{2}}T^{n^{2}}=0.}$ Ou seja, existe um polinômio não-nulo ${\displaystyle p(x)}$ tal que ${\displaystyle p(T)=0}$.

Se existe um polinômio não-nulo ${\displaystyle f(x)}$ tal que ${\displaystyle f(T)=0}$, então o conjunto não-vazio dos polinômio ${\displaystyle q(x)}$ tais que ${\displaystyle q(T)=0}$ forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico ${\displaystyle p(x)}$ tal que ${\displaystyle p(T)=0}$. Este polinômio é chamado de polinômio mínimo de ${\displaystyle T.}$

Espaço dual

Ver artigo principal: Espaço dual

Seja ${\displaystyle V}$ um espaço vetorial sobre um corpo ${\displaystyle K.}$ O espaço dual de ${\displaystyle V,}$ representado por ${\displaystyle V^{*},}$ é o espaço vetorial ${\displaystyle L(V,K)}$ das transformações lineares de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle K.}$

Ver também

• Função linear
• Função afim
• Função polinomial de primeiro grau

Referências

1. Lima, Elon Lages (2016). Álgebra Linear. Col: Coleção matemática universitária 9ª ed. Rio de Janeiro: IMPA. pp. 357 p. ISBN 9788524404207 
2. «Transformações lineares e exemplos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 
3. «Transformações injetoras, sobrejetoras e invertíveis». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática e Estatística. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 
4. «Matriz de uma transformação linear». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 

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