Teorema de Lucas

 Nota: Se procura o teorema de análise complexa, veja Teorema de Gauss-Lucas.

Em teoria dos números, o teorema de Lucas, publicado em 1878 por Édouard Lucas, afirma o seguinte:^{[1] [2] [3]}

Sejam m e n números inteiros não negativos, p um número primo e sejam

${\displaystyle m=m_{k}p^{k}+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_{1}p+m_{0},}$

e

${\displaystyle n=n_{k}p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_{1}p+n_{0}}$

os desenvolvimentos de m e n, respetivamente, na base p.

Então

${\displaystyle {\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}},}$

onde ${\displaystyle {\binom {m}{n}}={\frac {m!}{n!(m-n)!}}}$ denota o coeficiente binomial de m sobre n.

Em particular, o coeficiente binomial ${\displaystyle {\binom {m}{n}}}$ é divisível por um número primo p tal como por pelo menos um dos dígitos de n na base p é maior que o dígito correspondente de m — Édouard Lucas, 1878.

Referências

1. Édouard Lucas (1878). «Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques». American Journal of Mathematics. 1 (2): 184-196. doi:10.2307/2369308  (parte 1)
2. Édouard Lucas (1878). «Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques». American Journal of Mathematics. 1 (3): 197-240. doi:10.2307/2369311  (parte 2)
3. Édouard Lucas (1878). «Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques». American Journal of Mathematics. 1 (4): 289-321. doi:10.2307/2369373  (parte 3)

Ligações externas

• Lucas's Theorem, PlanetMath (em inglês)
• Andrew Granville. The Arithmetic Properties of Binomial Coefficients ("As propriedades aritméticas dos coeficientes binomiais", em inglês).