O Teorema de Jordan-Hölder é um teorema criado pelos matemáticos Otto Hölder e Camille Jordan.
O teorema Jordan-Hölder afirma que dadas duas series indefinidas de composição de um determinado grupo então estas são equivalentes. Assim, eles têm o mesmo comprimento de composição e os mesmos fatores de composição, até a permutação e o isomorfismo.
Camille Jordan conceituou a composição e séries principais (cf. séries principais ) para esses grupos e demonstrou que os índices de duas séries do mesmo tipo (ou seja, os índices dos subgrupos GEu no Gi + 1) são os mesmos, excetuando-se pela ordem de aparência. Já Otto Hölder provou que os fatores correspondentes são isomórficos.[1]
Escrita Formal do Teorema
Seja G um Grupo finito. Considere duas séries de decomposição.
Então
e a lista de fatores de composição é única até a permutação, ou seja, as listas ![{\displaystyle \{H_{i+1}/H_{i}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5a300833a72027afab63ce1e68fd485626cdac)
são os mesmos, depois de reorganizar uma das listas adequadamente.
Demonstração
Tal como acontece com o teorema fundamental da aritimética, a prova procede por indução, em
.
Para
é trivial. Agora suponha que o teorema foi provado para todos os grupos estritamente menores que
Pegue duas séries de composição
e
para
. O teorema é verdadeiro para
e para
.
Se
então nada temos a fazer, pois as séries de composição devem ser rearranjos uma da outra.
Se
, seja
.
então
tem uma série de composição composta pelos grupos
, pela hipótese indutiva. Então existem duas séries de composição para
, aquele que envolve
e a seguinte:
(note que
é um subgrupo máximo de
, pois
pelo segundo teorema do isomorfismo)
Por indução, esta série de composição deve ser um rearranjo da outra:
significa "é o mesmo até a permutação". Note que os comprimentos sendo os mesmos implica que
Analogamente, obtemos duas séries de composição para
usando o mesmo
para o segundo, isto é:
então
e isso prova que
Agora, usando
em
e
em
, temos:
Queremos que as duas listas externas sejam as mesmas até a permutação. As duas listas internas são as mesmas, exceto pelas duas últimas entradas. Mas
e
são iguais a
e
, também pelo segundo teorema do isomorfismo.
Portanto, as duas listas internas são as mesmas até a permutação (uma transposição dos dois últimos fatores)
Exemplo de código fonte
Suponha que temos um grupo finito G = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e queremos encontrar a sua decomposição em termos de grupos simples. Para isso, podemos usar o teorema de Jordan-Hölder.
Primeiro, criamos a lista de subgrupos de G:
List<Set<Integer>> subgroups = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < G.size(); i++) {
for (int j = i+1; j <= G.size(); j++) {
subgroups.add(new HashSet<>(G.subList(i, j)));
}
}
Em seguida, calculamos a série normal de subgrupos de G:
public static List<Group> getNormalSeries(Group G, List<Group> subgroups) {
List<Group> normalSeries = new ArrayList<Group>();
// Inclui o grupo G como o primeiro termo da série normal
normalSeries.add(G);
// Se o grupo G é trivial, a série normal consiste apenas do grupo trivial
if (G.isTrivial()) {
return normalSeries;
}
// Para cada subgrupo H em subgroups, encontra o maior subgrupo normal K de G que contém H
for (Group H : subgroups) {
Group K = G.getLargestNormalSubgroupContaining(H);
if (K.isTrivial()) {
continue;
}
// Recursivamente chama getNormalSeries com o grupo K e subgroups - H para obter a série normal de K
List<Group> normalSeriesOfK = getNormalSeries(K, subtractSubgroup(subgroups, H));
// Adiciona os grupos da série normal de K à série normal de G
for (Group N : normalSeriesOfK) {
if (!normalSeries.contains(N)) {
normalSeries.add(N);
}
}
}
return normalSeries;
}
Por fim, usamos a série normal para encontrar a decomposição de G em termos de grupos simples:
public static List<Group> getSimpleFactors(List<Group> normalSeries) {
List<Group> simpleFactors = new ArrayList<>();
for (Group group : normalSeries) {
if (group.isSimple()) {
simpleFactors.add(group);
}
}
return simpleFactors;
}
Referências
http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/594_2013/JordanHolder.pdf