Teorema de Heine-Borel

Em matemática, o teorema de Heine-Borel ou teorema de Borel-Lebesgue, estabelece que em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.

Discussão

Um conjunto ${\displaystyle K\,}$ é dito compacto se apresentar a seguinte propriedade:

Toda cobertura aberta admite uma subcobertura finita. Ou seja, se ${\displaystyle O_{\lambda }\,}$ são conjuntos abertos indexados por um índice ${\displaystyle \lambda \in I\,}$ e:

${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{\lambda \in I}O_{\lambda }\,}$

Então existe uma família finita ${\displaystyle \left\{O_{\lambda _{n}}\right\}_{n=1}^{N}\,}$ que cobre ${\displaystyle K\,}$:

${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{n=1}^{N}O_{\lambda _{n}}\,}$

Esta propriedade é chamada de propriedade de Heine-Borel ou propriedade de Borel-Lebesgue.

Um conjunto ${\displaystyle F\,}$ é dito fechado se toda sequência convergente contida em ${\displaystyle F\,}$ converge para um ponto de ${\displaystyle F\,}$, ou seja:

${\displaystyle x_{n}\in F{\hbox{ e }}x_{n}\to x\,}$, então: ${\displaystyle x\in F\,}$

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.

Um lema sobre a distância de um compacto a um ponto fora dele

Mostraremos que se ${\displaystyle K}$ é um conjunto compacto e ${\displaystyle x^{*}\notin K}$ então existe um número ${\displaystyle \delta >0}$, tal que:

${\displaystyle |x^{*}-y|\geq \delta ,\forall y\in K}$

Para tal, defina:

${\displaystyle r(y)={\frac {|x^{*}-y|}{2}},\forall y\in \mathbb {R} ^{n}}$

É claro que ${\displaystyle r(y)>0\,}$ para todo ponto ${\displaystyle y\,}$ em ${\displaystyle K\,}$.

Agora construa os abertos:

${\displaystyle O_{y}=B(y,r(y)),\forall y\in K}$, ou seja, a bola de centro y e raio ${\displaystyle r(y)\,}$

Eles formam uma cobertura para ${\displaystyle K}$:

${\displaystyle K=\bigcup _{y\in K}\{y\}\subseteq \bigcup _{y\in K}O_{y}}$

Usando a definição de compacidade, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\in K\,}$ tais que:

${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}O_{y_{k}}}$

Por construção, os abertos ${\displaystyle O_{y}\,}$ são disjuntos das bolas centradas em ${\displaystyle y^{*}\,}$ de raio ${\displaystyle r(y)\,}$:

${\displaystyle O_{y}\bigcap B(x^{*},r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^{*},r(y))=\emptyset }$

Defina:

${\displaystyle \delta =\min _{k=1}^{n}r(y_{k})\,}$

temos:

${\displaystyle O_{y_{k}}\bigcap B(x^{*},\delta )=B(y_{k},r(y_{k}))\bigcap B(x^{*},\delta )=B(y_{k},r(y_{k}))\bigcap B(x^{*},r(y_{k}))=\emptyset ,\forall k=1,\ldots ,n}$

Tomando a união, temos:

${\displaystyle K\bigcap \left(B(x^{*},\delta )\right)\subseteq \left(\bigcup _{k=1}^{n}O_{y_{k}}\right)\bigcap B(x^{*},\delta )=\emptyset }$

Pela definição da bola ${\displaystyle B(x^{*},\delta )\,}$, temos que todo ponto do conjunto ${\displaystyle K\,}$ está a uma distância não inferior a ${\displaystyle \delta }$, o que completa a demonstração.

Compacto implica fechado

Seja ${\displaystyle K\,}$ um conjunto compacto e seja ${\displaystyle K^{c}\,}$ seu complementar. O lema anterior mostra que ${\displaystyle K^{c}\,}$ contém uma bola aberta em torno de cada um de seus pontos, logo é aberto.

Compacto implica limitado

Seja um conjunto não limitado, então ele possui uma seqüência com as seguintes propriedade:

• ${\displaystyle |x_{n+1}|>|x_{n}|\,}$
• ${\displaystyle |x_{n}|\to \infty \,}$

Construa a cobertura:

${\displaystyle O_{n}=B(0,|x_{n}|)\,}$

A união dos ${\displaystyle O_{n}\,}$ cobre todo o espaço, mas nenhuma subcobertura finita cobre toda a seqüência ${\displaystyle x_{n}}$.

Assim, nenhum conjunto não-limitado é compacto.

Fechado e limitado implica compacto

Vamos utilizar o argumento do teorema de Bolzano-Weierstrass.

Para tal, considere um conjunto ${\displaystyle K\,}$ fechado e limitado e suponha, por absurdo, que não seja compacto, ou seja, que exista uma cobertura de abertos e não admita subcobertura finita.

Por ser limitado, deve estar contido em algum hipercubo:

• ${\displaystyle K\subseteq [a_{1}^{1},b_{1}^{1}]\times [a_{1}^{2},b_{1}^{2}]\times \ldots \times [a_{1}^{n},b_{1}^{n}]}$

Faço bisseção de cada uma das arestas do hipercubo, de forma a obter ${\displaystyle 2^{n}\,}$ hipercubos menores. Considere os subconjuntos formados pela intesecção de ${\displaystyle K\,}$ com cada um destes hipercubos menores. Pelo menos um desses conjuntos não pode ser coberto com uma subcobertura finita.

Prossiga o argumento recursivo para obter uma seqüencia de conjuntos fechados (pois cada hipercubo é fechado e a intersecção de fechados é um fechado) encaixados cujo diâmetro tende a zero. Aplique o teorema de Cantor para obter um ponto na intersecção de todos estes fechado que não pode ser coberto por subcobertura finita. Um absurdo.

Aplicação

A forma com que se foi apresentado aqui os conjuntos compactos, podemos fazer uma ilustração com um importante resultado utilizado na Análise: funções contínuas levam conjuntos compactos em conjuntos compactos. De modo geral, esta propriedade vale para quaisquer espaços topológicos.

A seguir apresentaremos uma versão desse teorema para a análise real, considerando os conjuntos em ${\displaystyle R}$. O resultado que será apresentado seguirá de sua respectiva demonstração e vale lembrar que em outros contextos (ou seja, considerando ${\displaystyle X}$ em alguma outra topologia que não seja ${\displaystyle R}$ a demonstração seguirá da mesma forma já que usamos resultados que valem de mogo geral.

Teorema: Considere ${\displaystyle f}$ uma função contínua de ${\displaystyle R}$ em ${\displaystyle R}$. Sendo ${\displaystyle X\subset R}$ compacto, então ${\displaystyle f(X)}$ é compacto.

Demonstração: Dada uma cobertura qualquer de abertos para ${\displaystyle f(X)}$ de forma que ${\displaystyle f(X)\subset \bigcup _{i\in \vartriangle }U_{i}}$ e onde cada ${\displaystyle U_{i}}$ é aberto. Daí,

${\displaystyle X\subset f^{-1}{\Bigl (}\bigcup _{i\in \vartriangle }U_{i}{\Bigl )}\Rightarrow X\subset \bigcup _{i\in \vartriangle }f^{-1}(U_{i})}$

Como ${\displaystyle U_{i}}$ é aberto e ${\displaystyle f}$ é contínua então ${\displaystyle f^{-1}(U_{i})}$ é aberto para todo ${\displaystyle i}$. Além disso, já que ${\displaystyle X}$ é compacto, então podemos extrair uma subcobertura finita de abertos da qual temos pelo Teorema de Borel-Lebesgue. Daí, existe ${\displaystyle k\in N}$ de modo que

${\displaystyle X\subset \bigcup _{i=1}^{k}f^{-1}(U_{i})\Rightarrow f(X)\subset \bigcup _{i=1}^{k}U_{i}}$

Ou seja, dada uma cobertura qualquer de abertos, conseguimos uma cobertura finita para ${\displaystyle f(X)}$. Logo este conjunto é compacto.

Referências

• MILIOLI, SIMONE DA LUZ. Conjuntos Compactos. 2000, UFSC. Disponível em<https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/97155/Simone_Milioli_da_Luz.PDF?sequence=1>

• Portal da matemática