Teorema de Frobenius

Em matemática, mais especificamente na álgebra abstrata, o teorema de Frobenius, provado por Ferdinand Georg Frobenius, em 1877, caracteriza a álgebra de divisão associativa^{[nota 1]} de dimensão finita^{[nota 2]} sobre os números reais^[1]. De acordo com o teorema, cada tal álgebra é isomórfica ao um dos seguintes:

1. ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ (números reais)
2. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (números complexos)
3. ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ( Quatérnios)

Estas álgebras têm dimensões 1, 2 e 4, respectivamente. Dessas três álgebras, os números reais e complexos são comutativos, mas os quatérnios não são. Esse teorema está intimamente relacionado com o teorema de Hurwitz^{[nota 3] [2]}, que afirma que as únicas álgebras de divisão normalizadas ao longo os números reais são ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {H} }$, e a (não-associativa) álgebra de octônios ( ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ).^{[3] [4]}

Referências

1. SCALAR ALGEBRAS AND QUATERNIONS: AN APPROACH BASED ON THE ALGEBRA AND TOPOLOGY OF FINITE-DIMENSIONAL REAL LINEAR SPACES, PART 1 por RAY E. ARTZ - 2009 [[1]]
2. THE HURWITZ THEOREM ON SUMS OF SQUARES por KEITH CONRAD [[2]]
3. Teorema de Frobenius por Ovídio Filho [[3]]
4. Teorema de Frobenius por Luis Guijarro 2009 [[4]]

Notas

1. Uma álgebra associativa A é um anel associativo que tem uma estrutura compatível de um espaço vectorial sobre um determinado campo K ou, mais geralmente, de um módulo ao longo de um anel comutativo R.
2. A dimensão de um espaço vectorial V é a cardinalidade (isto é, o número de vectores) de uma base de V.
3. O Teorema de Hurwitz, também chamado de "Teorema de 1,2,4 ou 8", em homenagem a Adolf Hurwitz provado por ele em 1898.

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