Teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani

 Nota: Não confundir com Teorema da representação de Riesz.

Na teoria da medida e na análise funcional, o teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani, também conhecido por teorema da representação de Riesz ou de Riesz–Markov, enuncia condições sob as quais um funcional linear num subespaço de C(X), que é o espaço das funções complexas contínuas em X, é da forma

f ↦ ∫_X f dμ,

isto é, é dado por integração em relação a uma medida positiva ou complexa μ.^[1][2]

O teorema recebe o nome de Frigyes Riesz, que analisou em 1909 o caso X = [0 … 1], de Andrei Markov Júnior, que analisou em 1938 para X normal, e de Shizuo Kakutani, que analisou em 1941 para X compacto de Hausdorff.^[3][4]

Enunciado

Nesta seção, X denota espaço localmente compacto de Hausdorff qualquer.

Denota-se por C_C(X) o espaço vetorial complexo das funções contínuas X → ℂ de suporte compacto, normado por ‖f‖ = sup_{x ∈ X}|f(x)|. Um funcional linear Λ : C_C(X) → ℂ é dito ser positivo quando Λ(f) ≥ 0 para cada f ∈ C_C(X) tal que f(x) ≥ 0 para cada x ∈ X.

Uma medida (positiva ou complexa) é dita ser medida de Borel em X quando é definida numa σ-álgebra contendo a σ-álgebra de Borel de X. Uma medida positiva de Borel μ em X é dita:

• ser regular exterior em E ⊆ X quando$${\displaystyle \mu (E)=\inf \left\{\mu (V)\mid {\text{aberto }}V\supseteq E\right\};}$$
• ser regular interior em E ⊆ X quando$${\displaystyle \mu (E)=\sup \left\{\mu (K)\mid {\text{compacto }}K\subseteq E\right\};}$$
• ser finita em compactos quando μ(K) < +∞ para cada compacto K ⊆ X.

Uma medida positiva de Borel μ é dita ser regular quando é simultaneamente regular exterior e regular interior em cada subconjunto de Borel de X. Uma medida complexa de Borel λ é dita ser regular quando a medida de variação total |λ| é medida positiva regular.

O teorema da representação de Riesz para medidas positivas diz que$${\displaystyle \mu \mapsto \left(f\in \mathrm {C_{C}} (X)\mapsto \int _{X}f\,\mathrm {d} \,\mu \right)}$$define bijeção^{[nota 1]} entre o conjunto das medidas positivas de Borel μ em X tais que

• μ é finita em compactos,
• μ regular exterior em cada subconjunto de Borel de X,
• μ regular interior em cada E ⊆ X tal que E é aberto ou μ(E) < +∞,

e o conjunto dos funcionais lineares positivos em C_C(X).^[1]

O teorema da representação de Riesz para medidas complexas diz que$${\displaystyle \mu \mapsto \left(f\in \mathrm {C_{C}} (X)\mapsto \int _{X}f\,\mathrm {d} \,\mu \right)}$$define bijeção entre o conjunto das medidas complexas de Borel regulares em X e o conjunto dos funcionais lineares contínuos em C_C(X), e, adicionalmente, esta bijeção é uma isometria no aspecto que$${\displaystyle \left|\mu \right|(X)=\left\Vert f\mapsto \int _{X}f\,\mathrm {d} \,\mu \right\Vert ,}$$em que o lado direito denota a norma de funcional linear.^[5]

Algumas notas:

• Denota-se por C₀(X) o espaço das funções contínuas f : X → ℂ que se anulam no infinito, isto é, tais que, para cada ε > 0, há compacto K ⊆ X tal que |f(x)| < ε sempre que x ∈ X ∖ K. Então, como C₀(X) é a completação de C_C(X), o teorema da representação de Riesz para medidas complexas pode ser equivalentemente enunciado para C₀(X) no lugar de C_C(X).^[6][7]
• Não exigindo as condições de regularidade exterior ou interior, duas medidas diferentes podem induzir um mesmo funcional linear positivo.^[8]
• Quando todo aberto de X é união enumerável de compactos, toda medida positiva de Borel em X que é finita em compactos é automaticamente regular.^[9]

Exemplos

• Sendo X = ℝ^k,$${\displaystyle \Lambda (f\in \mathrm {C_{C}} (X))=\lim _{n\to \infty }2^{-n\cdot k}\cdot \sum _{x\in P_{n}}f(x),}$$em que P_n é o conjunto dos pontos cujas coordenadas são múltiplas inteiras de 2⁻ⁿ, define funcional linear positivo, logo há única medida positiva regular vol tal que$${\displaystyle \Lambda (f)=\int _{X}f\,\mathrm {d} \,\mathrm {vol} }$$para cada f ∈ C_C(X). Esta vol é a medida de Lebesgue em k dimensões.^[10]
• (Exige conhecimentos de álgebras de Banach.) Denote por m a medida de Lebesgue restrita a subconjuntos de [0 … 1], e seja Δ o espaço de ideais maximais da álgebra de Banach L^∞(m) (ver espaços Lp), isto é, o conjunto das funções lineares multiplicativas não nulas L^∞(m) → ℂ, cuja topologia é de convergência pontual. Pode-se mostrar que a transformada de Gelfand f ↦ f^∧ é uma isometria de L^∞ a C(Δ), logo existe única medida regular μ em Δ tal que$${\displaystyle \int _{\Delta }{\hat {f}}\,\mathrm {d} \,\mu =\int _{0}^{1}f}$$para cada f ∈ L^∞; também, μ é medida positiva. O espaço de medida resultante satisfaz algumas propriedades incomuns; por exemplo, para toda função limitada de Borel φ : Δ → ℂ existe função contínua f^∧ : Δ → ℂ tal que μ{φ ≠ f^∧} = 0.^[11]

Notas

1. Entende-se que duas medidas de Borel definidas em σ-álgebras potencialmente diferentes são iguais quando coincidem na sub-σ-álgebra de Borel.

Referências

1. (Rudin 1987, §2.14)
2. «Riesz representation theorem». Encyclopedia of Mathematics. 18 de agosto de 2012 
3. (Rudin 1987, Notas para capítulo 2)
4. Rio, Rafael del; Franco, Asaf L.; Lara, Jose A. «A direct proof of F. Riesz representation Theorem». arXiv:1606.05026v2 [math.FA] 
5. (Rudin 1987, §6.19)
6. (Rudin 1987, §3.17)
7. (Rudin 1987, §6.18)
8. (Rudin 1987, Exercício 2.18)
9. (Rudin 1987, §2.18)
10. (Rudin 1987, §2.19)
11. (Rudin 1991, §11.13(f))

Bibliografia

• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis 3 ed. [S.l.]: McGraw–Hill. ISBN 0-07-054234-1 
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis 2 ed. [S.l.]: McGraw–Hill. ISBN 0-07-054236-8 

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e