Simetria de reflexão

Figuras com os eixos de simetria desenhados. A figura sem eixos é assimétrica.

Simetria de reflexão, simetria reflexiva, simetria de espelhamento, simetria de imagem espelhada, é a simetria em relação à reflexão. Dito de outro modo, uma figura que não muda ao ser refletida tem simetria reflexiva.

Em 2D existe uma reta/eixo de simetria, em 3D há um plano de simetria. Um objeto ou figura que é indistinguível de sua imagem transformada é dito simétrico (espelhado). Em conclusão, um eixo de simetria divide a forma ao meio e essas metades devem ser idênticas.

Função simétrica

A curva em forma de sino de uma distribuição normal é um exemplo de função simétrica

Formalmente, um objeto matemático é simétrico em relação a uma dada operação, como reflexão, rotação ou translação, se, quando aplicada ao objeto, essa operação preserva alguma propriedade do objeto.[1] O conjunto de operações que preservam uma determinada propriedade do objeto forma um grupo. Dois objetos são simétricos entre si em relação a um determinado grupo de operações se um for obtido do outro por alguma das operações (e vice-versa).

A função simétrica de uma figura bidimensional é uma reta tal que, para cada perpendicular construída, se a perpendicular intercepta a figura a uma distância 'd' do eixo ao longo da perpendicular, então existe outra interseção entre a forma e a perpendicular, na mesma distância 'd' do eixo, no sentido oposto ao longo da perpendicular.

Outra maneira de pensar sobre a função simétrica é que se a forma fosse dobrada ao meio sobre o eixo, as duas metades seriam idênticas: as duas metades são reflexos uma da outra.[1]

Assim, um quadrado tem quatro eixos de simetria, porque existem quatro maneiras diferentes de dobrá-lo e fazer com que todas as arestas coincidam. Um círculo tem uma infinidade de eixos de simetria.

Formas geométricas simétricas

Formas 2D com simetria reflexiva
trapézio isósceles e pipa
hexágonos
octógonos

Os triângulos que têm simetria de reflexão são isósceles. Já os quadriláteros com simetria de reflexão são as pipas, deltoides (côncavos), losangos[2] e trapézios isósceles. Todos os polígonos de lados iguais têm duas formas reflexivas simples, uma com retas de reflexão passando pelos vértices e outra pelas arestas.

Para uma forma arbitrária, a axialidade da forma mede o quão perto ela está de ser bilateralmente simétrica. É igual a 1 para formas com simetria de reflexão e entre 2/3 e 1 para qualquer forma convexa.

Equivalentes matemáticos

Para cada reta ou plano de reflexão, o grupo de simetria é isomorfo a Cs (ver grupos pontuais em três dimensões), um dos três tipos que têm ordem dois (involuções), portanto, algebricamente C2. O domínio fundamental é um semiplano ou semiespaço.

Em certos contextos, há simetria rotacional além da simetria de reflexão. Então, a simetria de espelhamento é equivalente à simetria de inversão; em tais contextos na física moderna, o termo paridade ou P-simetria é usado para ambas.

Tipos avançados de simetria de reflexão

Para tipos mais gerais de reflexão, existem tipos correspondentemente mais gerais de simetria de reflexão. Por exemplo:

  • com respeito a uma involução afim não isométrica (uma reflexão oblíqua em relação a uma reta, ou um plano, etc.)
  • com relação à inversão de um círculo.

Na natureza

Muitos animais, como este caranguejo-aranha Maja crispata, são bilateralmente simétricos.

Animais que são bilateralmente simétricos têm simetria de reflexão no plano sagital, que divide o corpo verticalmente nas metades esquerda e direita, com um de cada órgão dos sentidos e par de membros de cada lado. A maioria dos animais é bilateralmente simétrica, provavelmente porque isso apoia o movimento para a frente e o alongamento.[3][4][5][6]

Em arquitetura

A simetria de espelhamento é frequentemente usada na arquitetura, como na fachada de Santa Maria Novella, Florença, 1470.

A simetria de espelhamento é frequentemente usada na arquitetura, como na fachada de Santa Maria Novella, em Veneza.[7] Também é encontrada no projeto de estruturas antigas, como Stonehenge.[8] A simetria era um elemento central em alguns estilos de arquitetura, como o Palladianismo.[9]

Ver também

  • Padrões na natureza
  • Simetria de reflexão pontual

Referências

  1. ↑ a b Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson. [S.l.: s.n.] 
  2. ↑ Gullberg, Jan (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers. W. W. Norton. [S.l.: s.n.] pp. 394–395. ISBN 0-393-04002-X 
  3. ↑ Valentine, James W. «Bilateria». AccessScience. Consultado em 29 de maio de 2013 
  4. ↑ «Bilateral symmetry». Natural History Museum. Consultado em 14 de junho de 2014 
  5. ↑ Finnerty, John R. (2005). «Did internal transport, rather than directed locomotion, favor the evolution of bilateral symmetry in animals?» (PDF). BioEssays. 27: 1174–1180. PMID 16237677. doi:10.1002/bies.20299 
  6. ↑ «Bilateral (left/right) symmetry». Berkeley. Consultado em 14 de junho de 2014 
  7. ↑ Tavernor, Robert (1998). On Alberti and the Art of Building. Yale University Press. [S.l.: s.n.] pp. 102–106. ISBN 978-0-300-07615-8. More accurate surveys indicate that the facade lacks a precise symmetry, but there can be little doubt that Alberti intended the composition of number and geometry to be regarded as perfect. The facade fits within a square of 60 Florentine braccia 
  8. ↑ Johnson, Anthony (2008). Solving Stonehenge: The New Key to an Ancient Enigma. Thames & Hudson.
  9. ↑ Waters, Suzanne. «Palladianism». Royal Institution of British Architects. Consultado em 29 de outubro de 2015 

Bibliografia

Geral

  • Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson. [S.l.: s.n.] 

Avançada

  • Weyl, Hermann (1982) [1952]. Symmetry. Princeton University Press. Princeton: [s.n.] ISBN 0-691-02374-3 

Ligações externas

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