Raízes múltiplas

Um número ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ é dito raiz múltipla de um polinômio ${\displaystyle p(x)\in R[x]}$, ${\displaystyle R\subseteq \mathbb {C} }$ subanel, se ${\displaystyle (x-\alpha )^{n}}$ divide ${\displaystyle p(x)}$ para algum ${\displaystyle n\geq 2}$. Se ${\displaystyle (x-\alpha )^{n}}$ divide ${\displaystyle p(x)}$ e ${\displaystyle (x-\alpha )^{n+1}}$ não divide, então dizemos que a multiplicidade de ${\displaystyle \alpha }$ é ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Exemplos

Polinômio	Forma Fatorada	Raízes
${\displaystyle x^{2}+2x+1}$	${\displaystyle (x+1)^{2}}$	-1, com multiplicidade 2
${\displaystyle x^{3}-5x^{2}+8x-4}$	${\displaystyle (x-2)^{2}(x-1)}$	2, com multiplicidade 2 1, com multiplicidade 1
${\displaystyle x^{2}+1}$	${\displaystyle (x-i)(x+i)}$	i, com multiplicidade 1 -i, com multiplicidade 1

Nos exemplos acima, é fácil identificar as raízes e as respectivas multiplicidades dos polinômios em sua forma fatorada. Além disso, podemos determinar diversas propriedades relacionadas com a multiplicidade das raízes de um polinômio. Por exemplo, um polinômio sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ que tem raízes múltiplas não é irredutível.

Um polinômio que têm raiz múltipla não é separável, por definição.

Referências

Gonçalves, A. Introdução à Álgebra.