Raiz da velocidade quadrática média

Distribuições de densidade de probabilidade da velocidade molecular de quatro gases nobres a uma temperatura de 298,15 K (25 °C). Os quatro gases são hélio (⁴He), néon (²⁰Ne), argon (⁴⁰Ar) y xénon (¹³²Xe); os subíndices indicam os seus números de massa.

A raiz da velocidade quadrática média é uma medida da velocidade de uma partícula num gás. A mesma se expressa mediante a fórmula:

${\displaystyle v_{rms}={\sqrt {{3RT} \over {M_{m}}}}}$

onde v_rms é a raiz da média quadrática da velocidade, M_m é a massa molar do gás, R é a constante universal dos gases perfeitos, e T é a temperatura em Kelvin.

Para a dedução dessa fórmula, considera-se um recipiente fechado cúbico de arestas de comprimento L, e uma molécula de gás com massa m e velocidade v.

Tem-se que o sentido da velocidade vx da molécula é perpendicular a uma das paredes, e que as colisões com a parede são elásticas. O momento transferido para a parede em uma colisão é dado por:

${\displaystyle \Delta p_{x}=(-m.v_{x})-(m.v_{x})=-2.m.v_{x}}$

Devemos considerar que a molécula se choca contra uma das paredes do recipiente a cada intervalo Δt. Como o espaço percorrido é 2L, a uma velocidade vx, temos que ${\displaystyle \Delta t={2L \over v_{x}}}$.

Com a união dessas duas relações, obtém-se a variação do momento em relação ao tempo:

${\displaystyle {\Delta p \over \Delta t}={mv_{x}^{2} \over L}=F_{x}}$

Recipiente cúbico com uma molécula de gás.

Que, pela segunda lei de Newton , é a força perpendicular a uma das paredes. Dividindo a força somada de todas moléculas pela área, obtemos a pressão sobre aquela parede.

${\displaystyle P={F_{x} \over L^{2}}={m \over L^{3}}(v_{x1}^{2}+v_{x2}^{2}+...+v_{xN}^{2})}$ , onde N é o número de moléculas dentro do cubo.

Sabendo que ${\displaystyle N=n.N_{A}}$, onde ${\displaystyle N_{A}}$ é o número de Avogadro e ${\displaystyle n}$ é o número de mols, a soma das velocidades individuais pode ser substituida pela velocidade de 1 mol de moléculas x Número de Avogadro:

${\displaystyle P={mnN_{A} \over L^{3}}(v_{x}^{2}){med}}$

Com ${\displaystyle L^{3}}$ sendo o volume V e ${\displaystyle m.N_{A}}$ sendo a massa molar M, e considerando que todas as moléculas do recipiente tem movimentos em direções aleatórias, ou seja, ${\displaystyle V_{x}^{2}=V_{y}^{2}=V_{z}^{2}={1 \over 3}.V^{2}}$, podemos simplificar a pressão para:

${\displaystyle P={nM \over 3V}(v^{2}){med}}$

Finalmente, isolando ${\displaystyle v_{med}^{2}}$ = ${\displaystyle v_{rms}^{2}}$em função das outras variáveis e substituindo PV com a Lei dos gases ideais (${\displaystyle PV=nRT}$), obtemos a equação da velocidade quadrática média para gases ideais^[1]:

${\displaystyle v_{rms}={\sqrt {{3RT} \over {M_{m}}}}}$

Este conceito é muito adequado tanto para o caso de gases com comportamento próximos de gases ideais como o hélio e o oxigénio diatómico. Podemos expressar a raiz da velocidade média quadrática em função da constante de Boltzmann:

${\displaystyle v_{rms}={\sqrt {{3kT} \over {m}}}}$

onde m é a massa de uma molécula do gás.

Utilizando o Princípío de Lei da conservação da energia:

${\displaystyle E_{\mathrm {k} }={{3} \over {2}}nRT={\frac {3}{2}}NkT}$

onde E_k é a energia cinética e No número de moléculas do gás.

${\displaystyle E_{\mathrm {k,molecula} }={{1} \over {2}}mv^{2}}$

Dado que v² não considera a direcção do movimento, é lógico assumir que a fórmula pode ser estendida a toda a amostra, substituindo m pela massa de toda a amostra, ou seja a massa molar multiplicada pelo número de moles, "nM", resultando:

${\displaystyle {{1} \over {2}}nMv^{2}=E_{\mathrm {k} }}$

Portanto:

${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{2E_{\mathrm {k} }} \over {m}}}}$

o qual é equivalente.

Um exemplo importante onde é necessário conhecer as velocidades de um gás é a Distribuição de Maxwell-Boltzmann, e têm aplicações como o estudo de partículas de alta velocidade na superfície do sol e na superfície de um lago, por exemplo.

Referências

1. Fundamentos da física: Gravitação, ondas e termodinâmica Nona Ed. Rio de Janeiro - RJ ed. [S.l.]: LTC. 2012. ISBN 9788521619048  |nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (ajuda)

Ver também

• Constante de Boltzmann